Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) có đáp án

Tổng sản lượng than khai thác tại Quảng Ninh trong các năm $2017;\,\,2018;\,\,2019;\,\,2020$ là:

$35{,}5 + 38{,}0 + 42{,}9 + 47{,}5 = 163{,}9$ (triệu tấn)

Có 15 kết quả có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Do rút ngẫu nhiên nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố $D$ “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số” là các số 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Do đó, xác suất của biến cố $D$ là $P\left( D \right) = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$.

ĐKXĐ: $x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne - 1$.

1. Thay $x = 6$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $A$:

$A = \frac{{2 \cdot 6 - 3}}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Vậy giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 6$ là $\frac{3}{2}$.

2. Ta có:

$B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}$

$B = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{x}{{x + 1}}$.

3. Ta có: $P = A \cdot B = \frac{{2x - 3}}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 5}}{{x + 1}} = 2 - \frac{5}{{x + 1}}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\left( {x + 1} \right)$ phải là ước của $5$ suy ra $x + 1 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 5} \right\}$.

Do đó:

⦁ $x + 1 = 1$ suy ra $x = 0$ (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ).

⦁ $x + 1 = - 1$ suy ra $x = - 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ) suy ra $P = 2 - \frac{5}{{ - 1}} = 7 > 0$ (nhận).

⦁ $x + 1 = 5$ suy ra $x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ) suy ra $P = 2 - \frac{5}{5} = 1 > 0$ (nhận).

⦁ $x + 1 = - 5$ suy ra $x = - 6$ (thỏa mãn ĐKXĐ) suy ra $P = 2 - \frac{5}{{ - 5}} = 3 > 0$ (nhận).

Vậy $x \in \left\{ { - 6;\,\, - 2;\,\,4} \right\}$.

a) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 5y = - 11}\\{ - 3x + 7y = 15}\end{array}} \right.$.

Nhân hai tế của phương trình thứ nhất với $3$ và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{6x - 15y = - 33}\\{ - 6x + 14y = 30}\end{array}} \right.$.

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trong hệ mới, ta được: $- y = - 3{\rm{\;hay\;}}y = 3$.

Thay $y = 3$ vào phương trình thứ nhất, ta được:

$2x - 5 \cdot 3 = - 11$

$2x - 15 = - 11$

$2x = 4$

$x = 2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)$.

b) $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{2}{{x - 3}} + \frac{1}{{y + 2}} = 3}\\{\frac{4}{{x - 3}} - \frac{3}{{y + 2}} = 1}\end{array}} \right.$.

Điều kiện xác định: $x \ne 3$ và $y \ne - 2$.

Đặt $u = \frac{1}{{x - 3}}$ và $v = \frac{1}{{y + 2}}$. Hệ phương trình ban đầu trở thành:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2u + v = 3\,\,\left( 3 \right)}\\{4u - 3v = 1\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (3) với $3$, ta được: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{6u + 3v = 9}\\{4u - 3v = 1}\end{array}} \right.$.

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trên, ta được: $10u = 10$ suy ra $u = 1$.

Thay $u = 1$ vào phương trình (3), ta được: $2 \cdot 1 + v = 3$ suy ra $v = 1$.

Với $u = 1$ và $v = 1$, ta có:

⦁ $\frac{1}{{x - 3}} = 1$ suy ra $x - 3 = 1$ suy ra $x = 4$ (thỏa mãn).

⦁ $\frac{1}{{y + 2}} = 1$ suy ra $y + 2 = 1$ suy ra $y = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\, - 1} \right)$.

Gọi lượng cá hợp tác xã cần đánh bắt theo kế hoạch là $x$ (tấn, $x > 0$).

Thời gian hoàn thành theo dự định là: $\frac{x}{{20}}$ (tuần).

Lượng cá thực tế đánh bắt được là: $x + 10$ (tấn).

Năng suất thực tế mỗi tuần là: $20 + 6 = 26$ (tấn/tuần).

Thời gian hoàn thành trên thực tế là: $\frac{{x + 10}}{{26}}$ (tuần).

Vì hoàn thành sớm hơn kế hoạch $1$ tuần nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - \frac{{x + 10}}{{26}} = 1$

$$13x - 10\left( {x + 10} \right) = 260$$

$3x = 360{\rm{\;}}$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch là $120$ tấn.

Phương rơi tự do thẳng đứng vuông góc với mặt đất nên tam giác $ABH$ vuông tại $H$.

Độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là $\widehat {BAH} = 4^\circ$ và $AH = 45$ m.

Khoảng cách từ vị trí chạm đất $H$ đến chân tháp $B$ là:

$BH = AH \cdot \tan \left( {\widehat {BAH}} \right) = 45 \cdot \tan \left( {4^\circ } \right) \approx 3{,}15$ (m).

a) Xét ${\rm{\Delta }}BDA$ và ${\rm{\Delta }}BAC$ có:

$\widehat {BDA} = \widehat {BAC} = 90^\circ$;

$\widehat {ABC}$ là góc chung.

Do đó $\text{Δ}BDA∽\text{Δ}BAC$ (g.g).

b) Xét tam giác vuông $ABN$ có đường cao $AE$, ta có $\widehat {BAE} = \widehat {BNA}$ (cùng phụ với $\widehat {EAN}$).

Ta có $\text{Δ}BDA∽\text{Δ}BAC$ suy ra $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BA}}{{BC}}$ suy ra $B{A^2} = BD \cdot BC$ (1).

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ và $\Delta EBA$ vuông tại $E$ $\left( {AE \bot BN} \right)$.

Chứng minh tương tự, ta được: $B{A^2} = BE \cdot BN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BD \cdot BC = BE \cdot BN$ (cùng bằng $B{A^2}$).

c)

Xét tam giác $ABM$ có hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Do đó, $H$ là trực tâm của ${\rm{\Delta }}ABM$. Suy ra $MH \bot AB$.

Mặt khác $AC \bot AB$ tại $A$ suy ra $MH\,{\rm{//}}\,AC$ (hay $MH\,{\rm{//}}\,NC$).

Xét $\Delta BCN$ có $MH\,{\rm{//}}\,NC$ và $MH$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$, suy ra $MH$ đi qua trung điểm của $BN$. Do đó, $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BN$.

Ta có $AK \bot AM$ và $BE \bot AM$ suy ra $AK\,{\rm{//}}\,BE$ (hay $AK\,{\rm{//}}\,BN$).

Gọi $I$ là giao điểm của $CH$ và $AK$. Do $BN\,{\rm{//}}\,AK$ nên ta có:

suy ra $\frac{{AI}}{{HN}} = \frac{{CI}}{{CH}}$ (3).

suy ra $\frac{{CI}}{{CH}} = \frac{{IK}}{{HB}}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{AI}}{{HN}} = \frac{{CI}}{{CH}} = \frac{{IK}}{{HB}}$. Do đó, $\frac{{AI}}{{HN}} = \frac{{IK}}{{HB}}$.

Vì $H$ là trung điểm của $BN$ ($HN = HB$) nên $AI = IK$.

Mà $I \in AK$ nên đường thẳng $CH$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AK$.

Gọi số lần tăng giá vé là $x$ $\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,\,x < 30} \right)$.

Mức giá vé mới sau $x$ lần tăng là: $100000 + 5000x$ (đồng).

Số ghế có người xem sau $x$ lần tăng là: $120 - 4x$ (ghế).

Tổng doanh thu của rạp chiếu phim khi đó là:

$T\left( x \right) = \left( {100000 + 5000x} \right)\left( {120 - 4x} \right)$

$T\left( x \right) = 20000\left( {20 + x} \right)\left( {30 - x} \right)$

$T\left( x \right) = 20000\left( {600 + 10x - {x^2}} \right)$
$T\left( x \right) = 20000\left[ {625 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right]$

Ta có: ${\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0$ suy ra $625 - {\left( {x - 5} \right)^2} \le 625$.

Do đó, $T(x) = 20000\left[ {625 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right] \le 20000 \cdot 625 = 12500000$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x - 5 = 0$ suy ra $x = 5$ (thỏa mãn điều kiện).

Mức giá vé mới để doanh thu rạp chiếu phim đạt tối đa là:

$100000 + 5000 \cdot 5 = 125000$ (đồng).