Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Kim Giang (Hà Nội) có đáp án

a) $\left( {x + 6} \right)\left( {x - 5} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {7x + 8} \right)$

$\left( {x + 6} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {x - 5} \right)\left( {7x + 8} \right) = 0$

$\left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {x + 6} \right) - \left( {7x + 8} \right)} \right] = 0$

$\left( {x - 5} \right)\left( {x + 6 - 7x - 8} \right) = 0$

$\left( {x - 5} \right)\left( { - 6x - 2} \right) = 0$

Trường hợp 1: $x - 5 = 0$ suy ra $x = 5$.

Trường hợp 2: $- 6x - 2 = 0$ suy ra $- 6x = 2$ suy ra $x = - \frac{1}{3}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {5;\,\, - \frac{1}{3}} \right\}$.

b) $\frac{{60}}{x} = \frac{4}{3} + \frac{{60 - x}}{{x + 4}}$

Điều kiện xác định $x \ne 0$ và $x \ne - 4$.

Ta có: $\frac{{60 \cdot 3\left( {x + 4} \right)}}{{3x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 4} \right)}}{{3x\left( {x + 4} \right)}} + \frac{{3x\left( {60 - x} \right)}}{{3x\left( {x + 4} \right)}}$

$3 \cdot 60 \cdot \left( {x + 4} \right) = 4 \cdot x\left( {x + 4} \right) + 3x\left( {60 - x} \right)$

$180\left( {x + 4} \right) = 4x\left( {x + 4} \right) + 3x\left( {60 - x} \right)$

$180x + 720 = 4{x^2} + 16x + 180x - 3{x^2}$

$180x + 720 = {x^2} + 196x$

${x^2} + 16x - 720 = 0$.

Ta có: ${\rm{\Delta '}} = {8^2} - 1 \cdot \left( { - 720} \right) = 64 + 720 = 784 = {28^2} > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = - 8 + 28 = 20$ (thỏa mãn);

${x_2} = - 8 - 28 = - 36$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {20;\,\, - 36} \right\}$.

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{2y - 3}} = - 1\\5\left( {2y - 1} \right) - 3\left( {x + 2y} \right) = 0\end{array} \right.$.

ĐKXĐ: $2y - 3 \ne 0$ suy ra $y \ne \frac{3}{2}$.

Từ phương trình thứ nhất ta có:

$\frac{{3x + 1}}{{2y - 3}} = - 1$ suy ra $3x + 1 = - 1 \cdot \left( {2y - 3} \right)$ suy ra $3x + 2y = 2$ (3).

Từ phương trình thứ hai ta có:

$5\left( {2y - 1} \right) - 3\left( {x + 2y} \right) = 0$

$10y - 5 - 3x - 6y = 0$

$- 3x + 4y = 5$ (4).

Cộng hai phương trình (3) và (4) theo vế ta được:

$\left( {3x + 2y} \right) + \left( { - 3x + 4y} \right) = 2 + 5$

$6y = 7$ suy ra $y = \frac{7}{6}$ (thỏa mãn).

Thay $y = \frac{7}{6}$ vào phương trình (3) ta được:

$3x + 2 \cdot \frac{7}{6} = 2$ suy ra $3x + \frac{7}{3} = 2$ suy ra $3x = 2 - \frac{7}{3} = - \frac{1}{3}$ suy ra $x = - \frac{1}{9}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - \frac{1}{9};\,\,\frac{7}{6}} \right)$.

Gọi giá niêm yết của một chiếc váy là $x$ (đồng) và một chiếc túi là $y$ (đồng).

Điều kiện: $0 < x,\,\,y < 1\;500\;000$.

Tổng giá niêm yết của hai sản phẩm là $1\;500\;000$ đồng, ta có phương trình:

$x + y = 1\;500\;000$ (1).

Thực tế:

Chiếc váy giảm $20\%$, nên giá sau giảm là: $\left( {1 - 20\% } \right)x = 0{,}8x$ (đồng).

Chiếc túi giảm $10\%$, nên giá sau giảm là: $\left( {1 - 10\% } \right)y = 0{,}9y$ (đồng).

Tổng số tiền mẹ Mai trả là $1\;270\;000$ đồng, ta có phương trình:

$0{,}8x + 0{,}9y = 1\;270\;000$ (2).

Từ (1) suy ra $y = 1\;500\;000 - x$. Thay vào (2) ta được:

$0{,}8x + 0{,}9\left( {1\;500\;000 - x} \right) = 1\;270\;000$

$0{,}8x + 1\;350\;000 - 0{,}9x = 1\;270\;000$

$- 0{,}1x = - 80\;000$

$x = 800\;000$ (thỏa mãn).

Suy ra $y = 1\;500\;000 - 800\;000 = 700\;000$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của chiếc váy là $800\;000$ đồng, của chiếc túi là $700\;000$ đồng.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ) $\left( {x,\,\,y > 6} \right)$.

Khi đó mỗi giờ:

Vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể.

Vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Cả hai vòi cùng chảy sau 6 giờ thì đầy bể, nên trong 1 giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{6}$ bể.

Do đó, ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1).

Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ được $\frac{2}{x}$ bể. Vòi thứ hai chảy trong 3 giờ được $\frac{3}{y}$ bể. Khi đó lượng nước trong bể chiếm $\frac{2}{5}$ bể, ta có phương trình:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$ (2).

Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ $\left( {u,\,\,v > 0} \right)$, hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{1}{6}\\2u + 3v = \frac{2}{5}\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất ta có: $2u + 2v = \frac{1}{3}$.

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình này ta được: $v = \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{1}{{15}}$.

Suy ra $u = \frac{1}{6} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{{10}}$.

Do đó: $\frac{1}{x} = \frac{1}{{10}}$ suy ra $x = 10$ và $\frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}$ suy ra $y = 15$.

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng sau $10$ giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng sau $15$ giờ thì đầy bể.

a)

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $C$ minh họa bài toán. Trong đó, quãng đường bay theo đường xiên là $AB = 2{\rm{\;km}} = 2000{\rm{\;m}}$; $\widehat {A\,\,} = 7^\circ$ và độ cao hạ được chính là cạnh góc vuông $BC$ đối diện với góc $7^\circ$.

Áp dụng số lượng giác trong $\Delta ABC$ vuông tại $C$ có:

$BC = AB \cdot \sin 7^\circ = 2000 \cdot \sin 7^\circ \approx 243{,}738 \approx 244$ (m).

Vậy khi máy bay bay theo hướng đó được $2$ km thì máy bay đã hạ độ cao được $244\,\,{\rm{m\'e t}}{\rm{.}}$

b) Độ cao cần hạ là $h = 300$ m. Quãng đường bay $s$ (m) để hạ độ cao $300{\rm{\;m}}$ là:

$s = \frac{h}{{\sin 7^\circ }} = \frac{{300}}{{\sin 7^\circ }} \approx 2461{,}65$ (m).

Tốc độ máy bay $v = 198{\rm{\;km/h}} = \frac{{198}}{{3{,}6}} = 55{\rm{\;m/s}}$.

Thời gian máy bay bay để hạ độ cao $300$ m là:

$t = \frac{s}{v} \approx \frac{{2461{,}65}}{{55}} \approx 44{,}757 \approx 45$ giây.

Vậy sau $45$ giây máy bay hạ độ cao được $300$ mét.

a)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {B\,} = 52^\circ$ suy ra $\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 52^\circ \approx 7{,}679 \approx 7{,}7$ (cm).

$BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{6}{{\cos 52^\circ }} \approx 9{,}745 \approx 9{,}7$ (cm).

b) ⦁ Chứng minh $AQ \cdot AC = A{H^2}$

Xét ${\rm{\Delta }}AQH$ và ${\rm{\Delta }}AHC$:

$\widehat {AQH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $HQ \bot AC$ và $AH \bot BC$);

$\widehat {HAC}$ là góc chung (tức $\widehat {HAQ} = \widehat {CAH}$).

Do đó, $\text{Δ}AQH∽\text{Δ}AHC$.

Suy ra $\frac{{AQ}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ suy ra $A{H^2} = AQ \cdot AC$ (1).

⦁ Chứng minh $\text{Δ}ABC∽\text{Δ}AQN$:

Xét ${\rm{\Delta }}ANH$ và ${\rm{\Delta }}AHB$ có:

$\widehat {ANH} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (do $HN \bot AB$ và $AH \bot BC$);

$\widehat {HAB}$ là góc chung (tức $\widehat {HAN} = \widehat {BAH}$).

Do đó, $\text{Δ}ANH∽\text{Δ}AHB$.

Suy ra $\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ suy ra $AN \cdot AB = A{H^2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AQ \cdot AC = AN \cdot AB$ suy ra $\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

Xét ${\rm{\Delta }}ABC$ và ${\rm{\Delta }}AQN$ có:

$\widehat {A\,\,}$ là góc chung (tức $\widehat {QAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ$);

$\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

Do đó, $\text{Δ}ABC∽\text{Δ}AQN$ (c.g.c).

c)

Trong ${\rm{\Delta }}ABF$ vuông tại $F$ có: $\cos \widehat {ABK} = \frac{{BF}}{{AB}}$.

Trong ${\rm{\Delta }}ABC$ vuông tại $A$ có: $\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}$.

Do đó:

$VP = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC} = CK \cdot \frac{{BF}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}$ (1).

Trong ${\rm{\Delta }}ABH$ vuông tại $H$ có: $BH = AB \cdot \cos \widehat {ABC}$.

Trong ${\rm{\Delta }}ABK$ vuông tại $A$ có: $BK = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}$.

Do đó, $\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABC}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}}} = \cos \widehat {ABC} \cdot \cos \widehat {ABK}$ (3).

$\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABK}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}}}} = \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}$.

Xét ${\rm{\Delta }}BHF$ và ${\rm{\Delta }}BKC{\rm{\;}}$ có $\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ và $\widehat {KBC}$ là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}BHF∽\text{Δ}BKC$ (c.g.c).

Do đó, $\frac{{HF}}{{CK}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ suy ra $HF = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}$ (5).

Từ (1) và (5) suy ra: $HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}$ (đpcm).

Ta có: $A = 16{x^2} - 392x + 2500$

$A = {\left( {4x} \right)^2} - 2 \cdot \left( {4x} \right) \cdot 49 + {49^2} - {49^2} + 2500$

$A = {\left( {4x - 49} \right)^2} - 2401 + 2500$

$A = {\left( {4x - 49} \right)^2} + 99$

Để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất, biểu thức ${\left( {4x - 49} \right)^2}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $4x$ là số nguyên chia hết cho 4.

Ta có:

$4x = 48$ suy ra $x = 12$.

$4x = 52$ suy ra $x = 13$.

Thử lại:

Với $x = 12$: $4x - 49 = 48 - 49 = - 1$ suy ra ${\left( {4x - 49} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1$.

Do đó, $A = 1 + 99 = 100$.

Với $x = 13$: $4x - 49 = 52 - 49 = 3$ suy ra ${\left( {4x - 49} \right)^2} = {3^2} = 9$.

Do đó, $A = 9 + 99 = 108$.

Do $100 < 108$, giá trị nhỏ nhất của $A$ là $100$ đạt được khi $x = 12$.

Gọi $n$ là số lần thả thêm $100$ con cá $\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$.

Số lượng cá thả thêm là: $100n$ (con).

Tổng số cá trong hồ là: $1000 + 100n$ (con).

Cân nặng trung bình mỗi con cá khi thu hoạch giảm đi $0{,}09n{\rm{\;kg}}$, nên khối lượng trung bình của 1 con cá là: $2{,}4 - 0{,}09n$ (kg).

Tổng khối lượng cá thu hoạch được $Y$ (kg) là:

$Y = \left( {1000 + 100n} \right)\left( {2{,}4 - 0{,}09n} \right)$

$Y = 100\left( {10 + n} \right)\left( {2{,}4 - 0{,}09n} \right)$

$Y = \left( {10 + n} \right)\left( {240 - 9n} \right)$

$Y = 2400 - 90n + 240n - 9{n^2}$

$Y = - 9{n^2} + 150n + 2400$

$Y = - 9\left( {{n^2} - \frac{{150}}{9}n} \right) + 2400$

$Y = - 9\left( {{n^2} - \frac{{50}}{3}n} \right) + 2400$

$Y = - 9\left[ {{{\left( {n - \frac{{25}}{3}} \right)}^2} - \frac{{625}}{9}} \right] + 2400$

$Y = - 9{\left( {n - \frac{{25}}{3}} \right)^2} + 625 + 2400$

$Y = - 9{\left( {n - \frac{{25}}{3}} \right)^2} + 3025 \le 3025$.

Vì $n$ phải là số tự nhiên, ta so sánh giá trị $n$ gần nhất với $\frac{{25}}{3} \approx 8{,}33$:

Với $n = 8$: $Y = - 9{\left( {8 - \frac{{25}}{3}} \right)^2} + 3025 = - 9 \cdot {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + 3025 = - 1 + 3025 = 3024$ (kg).

Với $n = 9$: $Y = - 9{\left( {9 - \frac{{25}}{3}} \right)^2} + 3025 = - 9 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 3025 = - 4 + 3025 = 3021$ (kg).

Vì $3024 > 3021$, tổng khối lượng cá thu hoạch đạt lớn nhất khi $n = 8$.

Vậy hộ gia đình đó nên thả thêm $8$ lần (tương ứng với 800 con cá).