Đề kiểm tra Xác suất có điều kiện lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$là $\left\{ {\left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;4} \right)} \right\}$.

Vậy $n\left( A \right) = 3$.

Gọi $A$ là biến cố lần $1$ bốc được bi xanh.

Gọi $B$ là biến cố lần $2$ bốc được bi đỏ.

Xác suất lần $2$ bốc được bi đỏ khi lần $1$đã bốc được bi trắng là $P\left( {B/A} \right)$

Ta có $P\left( A \right) = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5};P\left( {AB} \right) = \frac{8}{{10}}.\frac{2}{9} = \frac{8}{{45}}.$

Suy ra $P\left( {B/A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{8}{{45}}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{9}.$

Gọi $A$ là biến cố “bạn học sinh được thầy giáo gọi lên bảng tên là Hiền”.

Gọi $B$ là biến cố “bạn học sinh được thầy giáo gọi lên bảng là nữ”.

Ta có $P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}}$,$P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{30}}.$

Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $P\left( {A/B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}.$

Theo công thức nhân xác xuất, ta có $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = 0{,}8.0{,}5 = 0{,}4$

Vì $AB$ và $\overline A B$ là hai biến cố xung khắc nên $AB \cup \overline A B = B \Rightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 1 - P\left( {AB} \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Gọi $A$ là biến cố: “Học sinh được chọn giỏi môn Toán” , $B$ là biến cố: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.

Số học sinh giỏi cả hai môn là $30 + 15 - 40 = 5$

Trong $30$ học sinh đó có đúng $5$ học sinh giỏi môn Văn. Vậy xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán với điều kiện học sinh đó giỏi môn Văn là $P\left( {A|B} \right) = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d)Đúng

a) Ta có $P\left( A \right).P\left( B \right) = 0{,}4.0{,}5 = 0{,}2 \ne 0{,}3 = P\left( {AB} \right)$.

b) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết thắng dự án 1 là $P\left( {B\backslash A} \right)$

Ta có $P\left( {B\backslash A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}4}} = 0{,}75$.

c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết điều kiện không thắng dự án 1 là:$P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}$

Vì hai biến cố $\overline A B$ và $A\overline B$ xung khắc nhau và $\overline A B \cup A\overline B = B$ nên theo tính chất của xác suất ta có

$P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$.

Suy ra $P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}5 - 0{,}3}}{{1 - 0{,}4}} = \frac{1}{3}$.

d) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $P\left( {A\overline B + \overline A B} \right)$

Vì hai biến cố $\overline A B$ và $A\overline B$ xung khắc nhau nên $P\left( {A\overline B + \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)$.

Vì hai biến cố $\overline A B$ và $AB$ xung khắc nhau và $\overline A B \cup AB = B$ nên theo tính chất của xác suất ta có

$P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}$.

Vì hai biến cố $A\overline B$ và $AB$ xung khắc nhau và ${\rm{A}}\overline B \cup AB = A$ nên theo tính chất của xác suất ta có

$P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}$.

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ta được như sau:

$\begin{array}{l}P\left( {A\overline B + \overline A B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\\ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {AB} \right) = 0{,}4 + 0{,}5 - 2.0{,}3 = 0{,}3.\end{array}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$.

b) Lần 1 lấy được quả bóng màu đỏ nên số bóng còn lại là 9 nên $n\left( \Omega \right) = 9$. Do có 6 quả bóng màu xanh và lần 1 lấy được quả bóng đỏ nên số phần tử thuận lợi cho biến cố $A$là $n\left( A \right) = 6$

$P\left( {A\backslash B} \right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

c) Do biến cố $B$ không xảy ra tức là lần 1 lấy 1 quả màu xanh nên số bóng còn lại là 5 quả xanh và 4 quả đỏ. Do đó $P\left( {A\backslash \overline B } \right) = \frac{5}{9}$.

d) Ta có $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A\backslash B} \right) = \frac{2}{5}.\frac{6}{9} = \frac{4}{{15}}$.

Chú ý: Không thể tính theo công thức $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B\backslash A} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Gọi $A$ là biến cố “chọn được bạn nam” và $B$ là biến cố “chọn được bạn tham gia trò chơi Sóng thần”.

Nhóm có $12$ nam và $13$ nữ nên xác suất để chọn được một bạn nam là $\frac{{12}}{{25}} = 0{,}48$.

Nhóm có $12$ nam và $13$ nữ nên xác suất để chọn được một bạn nữ là $\frac{{13}}{{25}} = 0{,}52$.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{25}} = 0{,}48$ và $P\left( {B|A} \right) = 0{,}6$ và $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là $P\left( {A\overline B } \right) = 0{,}192$.

Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần $P\left( {\overline A B} \right) = 0{,}156$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Gọi $A$ là biến cố “Hàng qua cửa đã được thanh toán” và $B$ là biến cố “Thiết bị phát chuông cảnh báo”.

Tỷ lệ hàng qua cửa không được thanh toán là $0{,}1\%$ tức là $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}1\%$ suy ra $P\left( A \right) = 100\% - 0{,}1\% = 99{,}9\%$.

Ta có $P\left( {B|A} \right) = 0{,}1\%$ và $P\left( {B|\overline A } \right) = 99\%$;

$P\left( {\overline B |A} \right) = 100\% - P\left( {B|A} \right) = 99{,}9\%$; $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 100\% - P\left( {B|\overline A } \right) = 1\%$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Từ đây ta có:

Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99{,}9\%$.

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( {\overline A B} \right) = 0{,}099\%$

Xác suất để hàng hóa qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( {\overline A B} \right) = 0{,}1\%$

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0{,}001\%$.

Gọi $A$ là biến cố “ Lấy được sản phẩm tốt ”

${B_i}$ là biến cố “ Sản phẩm lấy ra từ nhà máy thứ $i$ sản xuất ”, với $i = 1\,;\,2$

Ta có: $P({B_1}) = \frac{3}{4}\,\,;\,\,P({B_2}) = \frac{1}{4}$

$P(A) = P({B_1}).P(A/{B_1}) + P({B_2}).P(A/{B_2}) = \frac{3}{4}.0{,}8 + \frac{1}{4}.0{,}7 = 0{,}775$

Gọi $A$ là biến cố “ Trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có $2$ bi trắng ”

${B_i}$ là biến cố “ Trong hai viên bi bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai có $i$ bi trắng ”, với $i=0\ ;\ 1\ ;\ 2$

$\begin{array}{l}P(A) = P({B_0}).P(A/{B_0}) + P({B_1}).P(A/{B_1}) + P({B_2}).P(A/{B_2}) = \\ = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_9^2.C_3^1}}{{C_{12}^3}} + \frac{{C_8^1.C_2^1}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_{10}^2.C_2^1}}{{C_{12}^3}} + \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_{11}^2.C_1^1}}{{C_{12}^3}} = \frac{{772}}{{2475}} \approx 0{,}31\end{array}$

Ta có sơ đồ hình cây

Vậy ta có:$P(A) = \frac{{16}}{{90}} = \frac{8}{{45}} \Rightarrow a = 8;\,b = 45 \Rightarrow a + b = 53$.

Ta có: $P(B) = 0{,}8 \Rightarrow P(\overline B ) = 0{,}2$

$P(A\overline B ) = P(\overline B ).P(A\left| {\overline B } \right.) = 0{,}2.0{,}6 = 0{,}12$

Mặt khác: $P(AB) = P(A) - P(A\overline B ) = 0{,}5 - 0{,}12 = 0{,}38.$

Do đó: $P(A\left| B \right.) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}38}}{{0{,}8}} = 0{,}475$

Gọi $A$: “ Người nghiện thuốc lá”

$B$: “ Người bị viêm họng”

Khi đó: $AB$: “Người nghiện thuốc và bị viêm họng”

$\overline A B$: “Người không nghiện thuốc và bị viêm họng”

Theo đề bài ta có $P\left( A \right) = 30\%$; $P\left( {B|A} \right) = a\%$ và $P\left( {AB} \right) = 0{,}21$ nên theo công thức xác suất có điều kiện ta được: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Leftrightarrow a\% = \frac{{0{,}21}}{{30\% }} = 70\%$.

Tương tự:$P\left( {\overline A } \right) = 1 - 30\% = 70\%$; $P\left( {B|\overline A } \right) = 40\%$ và $P\left( {\overline A B} \right) = b\%$ nên theo công thức xác suất có điều kiện ta được: $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} \Leftrightarrow 40\% = \frac{{b\% }}{{70\% }} \Leftrightarrow b\% = 28\%$.

Vậy $a + b = 98$.

Gọi $A$,$B$, $C$lần lượt là biến cố “$A$ bắn trúng”, “$B$ bắn trúng”, “có một người bắn trúng”

Ta có $P\left( {B|C} \right) = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {B\overline A } \right) + P\left( {A\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}4.0{,}3}}{{0{,}4.0{,}3 + 0{,}7.0{,}4}} = 0{,}22$.