Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$$\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB}$$

Do đó:

$$\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD}$$

$= \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)$ $= \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\,\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)$$= \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB}$

Ta có: $\overrightarrow {BD} \, = \,\,\overrightarrow {B'D'}$. Do đó,

$\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,\left( {\overrightarrow {B'D'} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \widehat {\,D'B'C'}$

Vì $B'C'\, = \,CD'\, = \,D'B'$nên tam giác $B'CD'$là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {\,D'B'C'}\, = \,60^\circ$

Vậy $\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,60^\circ$

Chọn C

$$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.6.\cos {120^0} = 2.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6$$

Chọn B

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow 0$

Chọn B

Do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC}$ nên ta có

$\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$

Chọn C

Gọi H là trung điểm của $BC$, suy ra$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH$.

Trong $\Delta ABC$ có $\widehat B = \widehat C = 30^\circ \Rightarrow AH = AC.\sin 30^\circ = \frac{{5a}}{2}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 5a$.

Chọn B

Gọi $N$ là trung điểm $BC$ thì $G$ chính là trung điểm của $MN$ do đó ta có:

$\overrightarrow {MG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)$.

Ta có : $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {B{A_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} \ne \overrightarrow {BC}$ nên D sai.

Do $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}}$và $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {{B_1}{A_1}}$ nên $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}}$, nên A đúng

Do $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \overrightarrow {{A_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \overrightarrow {DC}$ nên

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {DC}$ nên B đúng.

Do $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {B{D_1}}$ nên C đúng.

Ta có

$$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DG} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DG} } \right) + \left( {\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DG} } \right) = \overrightarrow 0$$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG}$.

Ý a) đúng: Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ ( qui tắc hình bình hành) suy ra$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}$.

Ý b) sai: Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên

$\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .$

Ý c) sai: Ta có $ABCD$ là hình vuông nên nên

$AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0$

Mà $\overrightarrow 0 \ne 0$ nên mệnh đề sai.

Ý d) sai: Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên $\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$

${\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)$

Vì $SA$vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)$

$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)$ .Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ ta được $9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.$

Ý a) sai: Theo qui tắc hiệu ta có $\overrightarrow {DA'} = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AD}$ mà $\overrightarrow {A'D} \ne \overrightarrow {DA'}$

Ý b) đúng: ) Tứ giác$ABB'A'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'}$

Theo qui tắc hiệu ta có $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {GA'} - \overrightarrow {GA} \,;\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {GB'} - \overrightarrow {GB}$ vậy $\overrightarrow {GA'} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB'} - \overrightarrow {GB}$

$\Rightarrow \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GA} .$

Ý c) đúng: Đặt cạnh hình lập phương là $a$ .

Ta có: $A'D\, = \,a\sqrt 2 .$

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \end{array}$$

Suy ra $6\overrightarrow {IG} = 3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AD} {\kern 1pt} \,.$

Ý d) đúng: $\overrightarrow {IG} = \,\,\,\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}$ suy ra ${\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.$

$\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'}$ và $A'D = a\sqrt 2$ .

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}$$

a) Sai: $\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MN}$.

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MN}$.

b) Đúng: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {MN}$.

Ta có : $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} = (\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} ) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN}$.

c) Đúng: $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {IG}$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {IG}$.

d) Sai: $2\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IG} \ne \overrightarrow 0$.

Vì $I$ là trung điểm của $MN$ nên

$2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} ) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}$.

Suy ra $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG}$. Suy ra$\overrightarrow {IG} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AG} \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - 3\overrightarrow {IG} \Rightarrow 2\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IG} \ne \overrightarrow 0$.

Ý a) Đúng: Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {MN}$.

Ý b) Sai: Theo ý a) ta có: $\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {PA} + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PA} \ne \overrightarrow 0$.

Ý c) Sai: Ta có: $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AP}$ (sai vì $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PA}$).

Ý d) Đúng: Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có: $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {GA} - \frac{3}{2}\overrightarrow {GB} - \frac{3}{2}\overrightarrow {GC} = - \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ vuông góc nên $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

Ta có $\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b = {2.6^2} - {4^2} - 0 = 56$

Ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$

Xét $AC{'^2} = {\overrightarrow {AC'} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2}$

=$AA{'^2} + A{B^2} + A{D^2}$+$2AA'.AB.\cos \widehat {BAA'}$+$2AA'.AD.\cos \widehat {A'AD} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD}$

$= 3{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} + 3.2\sqrt 6 .\sqrt 6 .\cos {60^0} = 6$

Có $M$là trung điểm $AB$$\Rightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)$

Xét $\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC}$=$\frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} + 0$$= \frac{{ - 1}}{2}{a^2}$

Với $AB = AC = a\sqrt 2$,$OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - {a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}$

Ta có $\vec F = m\vec a$, suy ra $\left| {\vec F\left| { = m} \right|\vec a} \right| = 0{,}5.50 = 25\left( {{\rm{\;N}}} \right)$.

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng $0{,}5{\rm{\;kg}}$ một gia tốc $50{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}$ thì cần một lực đá có độ lớn là $25{\rm{\;N}}$.

Đáp số: $3{,}08$

Với hệ trục toạ độ đã chọn thì vị trí hiện tại của khinh khí cầu là $A\left( {2{,}5;1{,}7;0{,}6} \right)$.

Khi đó khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu là: $OA = \sqrt {2,{5^2} + 1,{7^2} + 0,{6^2}} \approx 3{,}08\left( {km} \right)$

Đáp số: $75{,}6$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Do đó, $GA = GB = GC =$$0{,}5m$.

Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F = F\left( L \right)$ là một hàm số với biến số là $L$.

Theo bài ra ta có $OA = OB = OC = L$ nên $OG \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = L$

Do đó, $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|$

Vì vậy, tồn tại hằng số $c \ne 0$ sao cho: $\overrightarrow {{F_1}} = c\overrightarrow {OA}$, $\overrightarrow {{F_2}} = c\overrightarrow {OB} ,\,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = c\overrightarrow {OC}$. Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = c\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}$.

Do đó: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3c\overrightarrow {OG}$.

Mặt khác ta lại có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P$, với $\overrightarrow P$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 20N nên $\left| {\overrightarrow P } \right| = 27$$\Leftrightarrow 3c\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = 27N \Leftrightarrow c = \frac{9}{{OG}}$ .

Tam giác $OAG$ vuông tại $G$(do $OG \bot \left( {ABC} \right)$) nên ta suy ra $OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}} = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \left( m \right)$ với $L > 0{,}5$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \Rightarrow c = \frac{9}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = c\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}$ (với $L > 0{,}5$)

Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 12 N $\Rightarrow F\left( L \right) \le 12 \Leftrightarrow \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }} \le 12 \Leftrightarrow 3L \le 4\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}}$$\Leftrightarrow 9{L^2} \le 16{L^2} - 4 \Leftrightarrow 7{L^2} \ge 4 \Rightarrow L \ge \frac{2}{{\sqrt 7 }} \approx 0{,}756$ (m).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là $L = 0{,}756m = 75{,}6cm$.