Đề kiểm tra Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án - Đề 2

Lời giải

Chọn C

Vì $\alpha ,\,\,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\beta = 90^\circ - \alpha .$

Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \beta ;$ $\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \beta .$

Chọn D

Ta có, góc tạo bởi cạnh $AB$ và phương năm ngang trên mặt đất là $\widehat {ABH}$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

${\rm{cos}}\widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{1{,}5}}{4} = 0{,}375$.

Vậy $\widehat {ABH} \approx 68^\circ$.

Chọn A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta được:

$D{F^2} = E{F^2} - D{E^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8.$ Suy ra $DF = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $D$ nên $\cot E = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.$

Chọn A

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $\cos A = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{130}}{{150}} = \frac{{13}}{{15}}$ nên $\widehat {BAC} \approx 30^\circ {\rm{.}}$

Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc so với phương dự định ban đầu khoảng $30^\circ .$

Chọn B

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.

Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn $6{\rm{0}}^\circ$ và $7{\rm{0}}^\circ$ thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường lần lượt là $AH$ và $A'H'$.

• Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có $AH = AB \cdot \cos A = 3{,}5\cos 60^\circ = 1{,}75\,\,({\rm{m}})$.

• Tam giác $A'B'H$ vuông tại $H$ có $A'H = A'B' \cdot \cos A' = 3{,}5\cos 70^\circ \approx 1{,}20\,\,({\rm{m}})$.

Do đó $1{,}20\, \le x \le 1{,}75$.

Chọn C

Kẻ $BH \bot CD$ tại $H.$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = 90^\circ$ suy ra tứ giác $ABHD$ là hình chữ nhật.

Do đó $BH = AD = 1{,}2$ và $DH = AB = 2.$

Vì tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên $\tan C = \frac{{BH}}{{CH}}.$

Suy ra $CH = \frac{{BH}}{{\tan C}} = \frac{{1{,}2}}{{\tan 50^\circ }} \approx 1.$

Ta có $CD = DH + HC \approx 2 + 1 \approx 3.$

Diện tích hình thang $ABCD$ là: $S = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD \approx \frac{1}{2}.\left( {2 + 3} \right).1{,}2 \approx 3$ (đvdt).

Vậy diện tích hình thang $ABCD$ khoảng $3$ đvdt.

a) Sai. Xét $\Delta ABC$ có $\widehat A = 15^\circ \,;\,\,\widehat B = 30^\circ$ nên $\widehat C = 180^\circ - 15^\circ - 30^\circ = 135^\circ$.

Tam giác $ABC$ có $\widehat C$ là góc tù nên tam giác $ABC$ là tam giác tù.

b) Đúng. Xét $\Delta HAB$ vuông tại $H$ có: $AH = AB \cdot \sin 30^\circ = 7{,}5\,\,({\rm{cm}}).$

c) Đúng. Xét $\Delta HAC$ vuông tại $H$ có $\widehat {ACH} = \widehat B + \widehat {CAB} = 45^\circ$ hay $\Delta HAC$ vuông cân tại $H.$

d) Sai. Xét $\Delta HAB$ vuông tại $H$ có:$BH = AB \cdot \cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\,\,({\rm{cm}}).$

Vì $\Delta HAC$vuông cân tại $H$ nên $CH = 7{,}5\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Khi đó, $BC = BH - CH \approx 5{,}49\,\,({\rm{cm}}).$

Vậy ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7{,}5 \cdot 5{,}49 = 20{,}59\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) \approx 21\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

a) Đúng. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$, ta có:

$\cos A = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $\cos 60^\circ = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $\frac{1}{2} = \frac{{AC}}{{2000}}$, suy ra $AC = \frac{{2\,\,000}}{2} = 1\,\,000\;\,\,({\rm{m}})$.

b) Sai. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$, ta có:

$\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}$ hay $\sin 60^\circ = \frac{{BC}}{{AB}}$ nên $\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{BC}}{{2\,\,000}}$, suy ra $AB = \frac{{2\,\,000\sqrt 3 }}{2} = 1\,\,732\;\,\,({\rm{m}})$.

c) Đúng. Tổng độ dài đường dây điện nối từ $A$ đến $C$ rồi nối tiếp đến $B$ là:

$AC + BC = 1\,\,000 + 1\,\,732 = 2732\,\,({\rm{m}}).$

d) Sai. Chiều dài tăng thêm của đường dây điện là: $2\,\,732 - 2\,\,000 = 732\,\,({\rm{m}})$.

Lời giải

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan A = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $\tan 62^\circ = \frac{{BH}}{{175}}$ nên $BH = 175 \cdot \tan 62^\circ = 329\;\,({\rm{m}})$.

Vậy chiều cao của tháp Eiffel là $329\;\,{\rm{m}}.$

Đáp án: 329.

Lời giải

Quãng đường cano đi trong 6 phút là:

$$10 \cdot \frac{6}{{60}} = 1\;\,\,({\rm{km)}} = 1\,\,000\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$, ta có:

$\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}}$ hay $\sin 55^\circ = \frac{{BC}}{{1\,\,000}}$ nên $BC = 1\,\,000 \cdot \sin 55^\circ = 819\;\,({\rm{m)}}$.

Vậy chiều rộng $BC$ của khúc sông là 819 m.

Đáp án: 819.

Lời giải

Gọi $D$ và $E$ lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí $B$ và $C.$

Gọi $I$ là hình chiếu của điểm $D$ trên $AH$.

So với mặt đất thì $BD$ và $CE$ là phương thẳng đứng; $HC$ và $IE$ là phương ngang nên các tứ giác $IHBD,\,\,IHCE,\,\,DBCE$ là hình chữ nhật.

Do đó $DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}$; $IH = DB = EC = 1{,}6\,\,{\rm{m}}$.

• Xét $\Delta AID$ vuông tại $I$ nên:

$ID = AI \cdot \,\cot \widehat {ADI} = AI \cdot \,\cot 34^\circ = AI \cdot \tan 56^\circ$ (do $\cot 34^\circ = \tan 56^\circ$). $\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta AIE$ vuông tại $I$ nên:

$IE = AI \cdot \,\cot \widehat {AEI} = AI \cdot \,\cot 30^\circ = AI \cdot \tan 60^\circ$ (do $\cot 30^\circ = \tan 60^\circ$). $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $IE - ID = AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right)$

$$AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right) = 475$$

$$AI = \frac{{475}}{{\tan 60^\circ - \tan 56^\circ }} \approx 1\,\,903{,}9\,\,({\rm{m}}).$$

Chiều cao $AH$ của ngọn núi là:

$$AH = AI + IH \approx 1903{,}9\, + 1{,}6\, \approx 1906\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$$

Vậy chiều cao $AH$ của ngọn núi là $1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 1906.