Đề kiểm tra Toán 8 Chương 3 (có đáp án) - Đề 2

Chọn C.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$

Suy ra $\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360 - \left( {80^\circ + 100^\circ } \right) = 180^\circ .$

Mà $\widehat C - \widehat D = 20^\circ$ nên $\widehat C = \frac{{180^\circ + 20^\circ }}{2} = 100^\circ .$

Chọn D.

⦁ Vì $AD = AB$ nên $\Delta ABD$ cân tại $A,$ suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}$ suy ra $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}$.

Do đó $DB$ là tia phân giác của góc $D$.

⦁ Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat C = \widehat D = 60^\circ .$

Vì $DB$ là tia phân giác của góc $D$ nên $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .$

Xét $\Delta BDC$ có $\widehat {DBC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{D_2}} + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 60^\circ } \right) = 90^\circ .$

Điều này chứng tỏ $BD \bot BC.$

⦁ Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$ Khi đó $CM = DM = \frac{1}{2}CD.$

Xét $\Delta BDC$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $CD$ nên $BM = \frac{1}{2}CD.$

Như vậy, $BM = CM$ nên $\Delta BCM$ cân tại $M$

Lại có $\widehat C = 60^\circ$ nên $\Delta BCM$ là tam giác đều.

Suy ra $BC = CM = \frac{1}{2}CD.$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC$ và theo giả thiết $AB = AD$ nên suy ra $AB = \frac{1}{2}CD$ hay $CD = 2AB$.

Chọn C.

⦁ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AB = CD.$

Do $M,N$ là trung điểm nên $AM\,{\rm{//}}\,CN$ và $AM = CN,$ chứng tỏ $AMCN$ là hình bình hành. Từ đó suy ra $AN\,{\rm{//}}\,CM.$ Vậy khẳng định B và D là đúng.

⦁ Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD.$ Khi đó $O$ là trung điểm của $AC.$

Trong $\Delta ADC,$ hai đường trung tuyến $DO$ và $AN$ cắt nhau tại $P,$ do đó $P$ là trọng tâm của $\Delta ADC,$ suy ra $DP = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD.$

Chứng minh tương tự, $Q$ là trọng tâm $\Delta ABC,$ suy ra $BQ = \frac{1}{3}BD.$

Khi đó $PQ = BD - DP - BQ = \frac{1}{3}BD.$

Vậy $DP = PQ = QB.$ Khẳng định A là đúng.

⦁ Dễ dàng chứng minh được $\Delta ADP = \Delta CBQ$ (c.g.c). Suy ra $AP = CQ.$

Tuy nhiên chưa đủ cơ sở để chứng minh hai cạnh trên có độ dài bằng $PQ.$

Chọn B.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó mới là hình vuông.

Chọn C.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = BC.$

Do đó $\Delta ABD$ cân tại $B,$ lại có $\widehat A = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat {ADB} = 60^\circ .$

Trong $\Delta ABD,$ vì $E$ là trung điểm của $AB,$ đường trung tuyến $DE$ đồng thời là đường cao và đường phân giác, suy ra $\widehat {BDE} = \frac{1}{2}\widehat {ADB} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .$

Tương tự, $\Delta BCD$ cũng là tam giác đều, $F$ là trung điểm $BC$ nên $\widehat {BDF} = 30^\circ .$

Khi đó $\widehat {EDF} = \widehat {BDE} + \widehat {BDF} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ .$

Mặt khác, hai tam giác đều $\Delta ABD$ và $\Delta BCD$ bằng nhau, nên hai đường cao tương ứng $DE$ và $DF$ phải bằng nhau, tức là $DE = DF.$

Nên $\Delta DEF$ cân tại $D$ và có góc ở đỉnh $\widehat {EDF} = 60^\circ ,$ do đó nó là tam giác đều.

Từ đó, ta có $\widehat {DEF} = 60^\circ .$

Chọn B.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD = AB$ và $\widehat {DAB} = 90^\circ .$

Vì tam giác $ABE$ đều nên $AB = AE$ và $\widehat {BAE} = 60^\circ .$

Suy ra $AD = AE.$

Do đó $\widehat {DAE} = \widehat {DAB} + \widehat {BAE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ .$

Xét $\Delta ADE$ có $AD = AE$ nên nó là tam giác cân tại $A.$

Suy ra $\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 150^\circ }}{2} = 15^\circ .$

Mặt khác, đường chéo $BD$ của hình vuông là tia phân giác của $\widehat {ADC},$ nên $\widehat {ADB} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Khi đó $\widehat {BDE} = \widehat {ADB} - \widehat {ADE} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ .$

a) Đúng. Tứ giác $AEFD$ có $AE\,{\rm{//}}\,DF$ và $AE = DF$ nên nó là hình bình hành.

Vì $E$ là trung điểm $AB$ và $AB = 2AD$ nên $AE = \frac{1}{2}AB = AD.$

Hình bình hành $AEFD$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

b) Sai. Hai đường chéo $AF$ và $DE$ của hình thoi $AEFD$ cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau, nhưng chúng hoàn toàn không bắt buộc phải bằng nhau.

c) Đúng. Vì $AEFD$ là hình thoi nên $AF \bot DE,$ tức là $\widehat {EMF} = 90^\circ .$

Tương tự, $BEFC$ cũng là hình thoi nên $\widehat {ENF} = 90^\circ .$

Dễ dàng chứng minh được tứ giác $AECF$ là hình bình hành nên $AF\,{\rm{//}}\,CE$.

Mà $AF \bot DE,$ nên $CE \bot DE$ tại $E.$ Do đó $\widehat {MEN} = 90^\circ .$

Tương tự, ta có $\widehat {MFN} = 90^\circ .$

Tứ giác $EMFN$ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

d) Sai. Để hình chữ nhật $EMFN$ trở thành hình vuông thì hai cạnh kề $EM$ và $MF$ phải bằng nhau, tức là $DE = CE.$

Mà $CE = AF$ (do $AECF$ là hình bình hành) nên ta cần $DE = AF.$

Hình thoi $AEFD$ có hai đường chéo $DE = AF$ nên nó sẽ là hình vuông.

Khi đó $\widehat {DAB} = 90^\circ .$

Do vậy, điều kiện đúng là hình bình hành $ABCD$ phải là hình chữ nhật, chứ không phải hình thoi (do giả thiết $AB = 2AD$ ngay từ đầu đã mâu thuẫn với định nghĩa hình thoi $AB = AD$).

Thật vậy, nếu $ABCD$ là hình chữ nhật thì $EMFN$ là hình vuông.

a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat A = 90^\circ .$

Tam giác $AMN$ có một góc vuông và hai cạnh góc vuông $AM = AN$ nên là tam giác vuông cân tại đỉnh $A.$

b) Đúng. Trong $\Delta AMN$ cân, $AH$ vừa là đường cao, vừa là tia phân giác của góc $A.$

c) Đúng. Vì $AH$ là phân giác của góc $A$ nên để $A,H,C$ thẳng hàng thì đường chéo $AC$ bắt buộc phải đóng vai trò là tia phân giác của góc $A.$

Một hình chữ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc thì hình đó là hình vuông.

d) Sai. Điểm $M,N$ là các điểm di động trên các cạnh $AB,AD$ nên độ dài cạnh $AM$ thay đổi từ 0 cho đến bằng $AB.$

Do đó, diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2}A{M^2}$ là một giá trị thay đổi theo vị trị của điểm $M,N$.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .$

Suy ra $\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ .$

Vì $I$ là giao điểm của hai tia phân giác nên

$\widehat {ICD} + \widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat C + \frac{1}{2}\widehat D = \frac{{\widehat C + \widehat D}}{2} = \frac{{150^\circ }}{2} = 75^\circ .$

Xét $\Delta ICD,$ ta có $\widehat {CID} = 180^\circ - \left( {\widehat {ICD} + \widehat {IDC}} \right) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ .$

Đáp án: 105.

Kẻ $BK \bot CD$ tại $K.$

Tứ giác $ABKH$ có $AB\,{\rm{//}}\,HK$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD)$ và $AH\,{\rm{//}}\,BK$ (cùng vuông góc với $CD)$

Suy ra $ABKH$ là hình bình hành, lại có $\widehat {AHK} = 90^\circ$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật, suy ra $AH = BK$ và $AB = HK.$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta BKC$ vuông tại $K$ có:

$AH = BK,\,\,AD = BC$ (do $ABCD$ là hình thang cân)

Do đó $\Delta AHD = \Delta BKC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $DH = CK,$ mà $HD = 4$ cm nên $CK = 4$ cm.

Ta có $HK = HC - CK = 10 - 4 = 6$ (cm).

Suy ra $AB = HK = 6$ cm.

Hình bình hành $ABCE$ có chu vi bằng $2\left( {AB + BC} \right) = 2\left( {AB + AD} \right) = 2\left( {6 + 5} \right) = 22$ (cm).

Đáp án: 22.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA = 15$ cm.

Trên tia đối của tia $BC,$ lấy điểm $F$ sao cho đoạn $BF = DN.$

Xét $\Delta ABF$ vuông tại $B$ và $\Delta ADN$ vuông tại $D$ có: $AB = AD,$ $BF = DN.$

Do đó $\Delta ABF = \Delta ADN$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $AF = AN$ và $\widehat {{A_4}} = \widehat {{A_1}}.$

Ta có $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = \widehat {BAD} - \widehat {{A_2}} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ .$

Suy ra $\widehat {FAM} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = 45^\circ .$

Xét $\Delta FAM$ và $\Delta NAM$ có:

$AM$ là cạnh chung, $\widehat {FAM} = \widehat {NAM} = 45^\circ ,$ $AF = AN$

Do đó $\Delta FAM = \Delta NAM$ (c.g.c). Suy ra $FM = MN.$

Mà $FM = FB + BM = DN + BM$ nên $MN = DN + BM.$

Chu vi của tam giác $\Delta CMN$ là:

$CM + CN + MN$$= CM + CN + DN + BM$

$= \left( {CM + BM} \right) + \left( {CN + DN} \right)$

$= BC + CD = 15 + 15 = 30$ (cm).

Đáp án: 30.