Đề kiểm tra Toán 8 Chương 3 (có đáp án) - Đề 1

Chọn B.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$.

Suy ra $\widehat C + \widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ - \left( {80^\circ + 120^\circ } \right) = 160^\circ$.

Mà $\widehat C = \frac{1}{3}\widehat D$ nên $\widehat D = 3\widehat C,$ suy ra $\widehat C + 3\widehat C = 160^\circ$ hay $4\widehat C = 160^\circ$ nên $\widehat C = 40^\circ .$

Chọn A.

Tứ giác $ABKH$ có $AB\,{\rm{//}}\,HK$ và $AH\,{\rm{//}}\,BK$ (do cùng vuông góc với $CD$) nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat {AHK} = 90^\circ$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật, suy ra $HK = AB = 4$ cm.

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta BKC$ vuông tại $K$ có:

$AD = BC$ và $\widehat D = \widehat C$ (tính chất hình thang cân)

Do đó $\Delta AHD = \Delta BKC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $DH = KC.$

Ta có $CD = DH + HK + KC = 2DH + 4.$

Từ đó $2DH = CD - 4 = 10 - 4 = 6$ (cm), suy ra $DH = 3$ cm.

Chọn D.

⦁ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD = BC$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Tứ giác $AECF$ có $AE\,{\rm{//}}\,CF$ và $AE = CF$ nên là hình bình hành.

Do đó, $AF\,{\rm{//}}\,CE$ và hai đường chéo $AC,$ $EF$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của đường chéo $AC.$

Hình bình hành $ABCD$ cũng có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại tâm $O.$

Vì vậy $AC,BD,EF$ đồng quy tại điểm $O.$

⦁ Ta có $DE = AD - AE$ và $BF = BC - CF,$ mà $AD = BC$ và $AE = CF$ nên $DE = BF.$

Tứ giác $BEDF$ có $DE = BF$ và $DE\,{\rm{//}}\,BF$ nên là hình bình hành. Không có yếu tố góc vuông nào để biến nó thành hình chữ nhật. Do đó phương án D là khẳng định sai.

Chọn A.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau.

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật, nhưng hai đường chéo của hình chữ nhật không vuông góc với nhau.

Tứ giác lồi có hai đường chéo bằng nhau chưa đủ cơ sở để khẳng định nó là một hình chữ nhật.

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, nhưng đường chéo của hình chữ nhật không phải là tia phân giác của góc ở đỉnh.

Chọn A.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi, nó có các đường chéo là tia phân giác của góc ở đỉnh.

Tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc với nhau chưa đủ cơ sở để khẳng định là hình thoi.

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi, nó có các góc đối bằng nhau, hai góc kề chưa chắc đã bằng nhau.

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi, nó có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, chưa chắc đã bằng nhau.

Chọn A.

Mọi hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông, nó có giao điểm hai đường chéo cách đều cả bốn cạnh.

Một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông, nó có diện tích được tính bằng tích độ dài hai cạnh kề (chính là tích độ dài hai cạnh hình vuông).

Tứ giác có bốn góc vuông và hai đường chéo vuông góc là hình vuông, nó có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Mọi hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, nó luôn có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và có hai trục đối xứng.

a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat D = \widehat B = 60^\circ .$

b) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD,$ mà $AC \bot AB$ nên $AC \bot CD$.

Do đó $\Delta ACD$ vuông tại $C.$

c) Đúng. Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C$ có $CM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AD$ nên $CM = \frac{1}{2}AD.$

d) Sai. Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên $MD = \frac{1}{2}AD.$

Do đó $CM = MD$ nên $\Delta CMD$ là tam giác cân tại $M.$

Lại có $\widehat D = 60^\circ$ nên $\Delta CMD$ là tam giác đều. Suy ra $CD = CM = \frac{1}{2}AD.$

Mà $\Delta ACD$ vuông tại $C$ và cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất hay $AD > AC.$

Như vậy khẳng định $CD = \frac{1}{2}AC$ là sai.

a) Đúng. Xét $\Delta DCE$ có $\widehat {DCE} = 90^\circ$ và $CE = CD$ nên $\Delta DCE$ vuông cân tại $C.$

b) Sai. Qua điểm $D$ có $AD\,{\rm{//}}\,BE,\,\,DF\,{\rm{//}}\,BE$ nên theo tiên đề Euclid ta có $AD,\,\,DF$ trùng nhau hay ba điểm $A,D,F$ thẳng hàng.

c) Đúng. Tứ giác $DCEF$ có $CD\,{\rm{//}}\,EF,\,\,DF\,{\rm{//}}\,CE$ nên nó là hình bình hành.

Lại có $\widehat {DCE} = 90^\circ$ nên $DCEF$ là hình chữ nhật.

Mà $CE = CD$ nên $DCEF$ là hình vuông.

d) Sai. Do $DCEF$ là hình vuông nên $DF = CE = CD.$

Suy ra $AF = AD + DF = AD + CD.$

Diện tích $\Delta AEF$ là ${S_{\Delta AEF}} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot CD = \frac{1}{2}\left( {AD + CD} \right) \cdot CD = \frac{1}{2}AD \cdot CD + \frac{1}{2}CD \cdot CD.$

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = AD \cdot CD = \frac{1}{2}AD \cdot CD + \frac{1}{2}AD \cdot CD.$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD \ne CD,$ do đó hai giá trị trên khác nhau.

Tổng ba góc trong $\Delta CID$ bằng $180^\circ ,$ nên $\widehat {ICD} + \widehat {IDC} = 180^\circ - \widehat {CID} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ .$

Vì $CI$ và $DI$ là các tia phân giác nên $\widehat {ICD} = \frac{1}{2}\widehat C,\,\,\widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat D.$

Suy ra $\frac{1}{2}\widehat C + \frac{1}{2}\widehat D = 80^\circ$ nên $\widehat C + \widehat D = 160^\circ$

Mà $\widehat D - \widehat C = 40^\circ ,$ nên $\widehat D = \frac{{160^\circ + 40^\circ }}{2} = 100^\circ .$

Đáp án: 100.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat C = \widehat D = 60^\circ$ và $BC = AD = 4{\rm{ cm}}.$

Do tia $DB$ là phân giác góc $D$ nên $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_2}} = 30^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ có $\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}} = 30^\circ$ nên tam giác này cân tại $A,$ suy ra $AB = AD = 4{\rm{ cm}}.$

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat {DBC} = 180^\circ - \left( {\widehat C + \widehat {{D_2}}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 30^\circ } \right) = 90^\circ .$

Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$ Khi đó $CM = \frac{1}{2}CD.$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $CD$ nên $BM = \frac{1}{2}CD.$

Suy ra $BM = CM$ nên $\Delta BCM$ cân tại $M,$ lại có $\widehat C = 60^\circ$ nên $\Delta BCM$ là tam giác đều.

Suy ra $BC = CM = \frac{1}{2}CD.$ Do đó $CD = 2BC = 2 \cdot 4 = 8$ (cm).

Chu vi của hình thang cân $ABCD$ là $AB + BC + CD + DA = 4 + 4 + 8 + 4 = 20$ (cm).

Đáp án: 20.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và các góc ở mỗi đỉnh bằng $90^\circ .$

Dựng tam giác đều $ABN$ hoàn toàn nằm bên trong hình vuông.

Ta có $\widehat {DAN} = \widehat {BAD} - \widehat {BAN} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .$

Do tam giác $ABN$ đều nên $\widehat {NAB} = 60^\circ$ và $AN = AB,$ suy ra $AN = AD.$

Suy ra $\Delta ADN$ cân tại $A$ nên $\widehat {AND} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ .$

Lấy một điểm $M\prime$ trong hình vuông $ABCD$ sao cho $\Delta M\prime CD$ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {M'DC} = 60^\circ$ và $M'D = CD = AD.$

Khi đó $\Delta M\prime AD$ cân tại $D$ với $\widehat {M'DA} = \widehat {ADC} - \widehat {MDC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ nên $\widehat {M\prime AD} = \frac{{180^\circ - \widehat {M'DA}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ .$

Khi đó $\widehat {M\prime AB} = \widehat {BAD} - \widehat {M\prime AD} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .$

Tương tự, ta cũng có $\widehat {M\prime BA} = 15^\circ .$

Do chỉ tồn tại duy nhất một giao điểm $M$ tạo được cặp góc $15^\circ$ này, nên điểm $M$ chính là $M\prime .$

Điều này khẳng định $\Delta MCD$ là một tam giác đều, do đó $\widehat {MCD} = 60^\circ .$

Đáp án: 60.