Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án - Đề 2

Chọn đáp án B

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ nên $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)$.

Phương trình tham số của $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Chọn đáp án D

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$ là:

$1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0$.

Chọn đáp án B

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ và bán kính $R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3$ có phương trình là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Chọn đáp án B

Chọn điểm $A\left( {0;\;0;\;5} \right) \in \left( P \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên

$d\left( {\left( P \right),\;\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 2.0 + 2.5 - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}$.

Chọn đáp án D

Từ phương trình mặt cầu ta có: $a = 1;\,b = 2;\,c = - 3,\,d = - 2$.

Suy ra đường kính mặt cầu là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$.

Chọn đáp án B

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)$.

a) Sai. Vectơ vận tốc là $\overrightarrow v = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{t} = \left( { - 4; - 1{,}5; - 0{,}5} \right)$.

b) Đúng. Đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {320;148;45} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( { - 40; - 15; - 5} \right)$nên ta có phương trình đường thẳng là $\left\{ \begin{array}{l}x = 320 - 40t\\y = 148 - 15t\\z = 45 - 5t\end{array} \right.$.

c) Đúng. Phương trình chuyển động tại thời điểm $t$ giây là $\left\{ \begin{array}{l}x = 320 - 4t\\y = 148 - 1{,}5t\\z = 45 - 0{,}5t\end{array} \right.$.

Vật chạm đất tức là $z\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 45 - 0{,}5t = 0 \Leftrightarrow t = 90$.

d) Sai. Radar phát hiện khi $r\left( t \right) = \sqrt {{{\left( {380 - 4t} \right)}^2} + {{\left( {148 - 1{,}5t} \right)}^2} + \left( {45 - 0{,}5{t^2}} \right)} = 400$.

Giải phương trình ta được $t \approx 0{,}11$.

Khi đó cao độ của vật là $z\left( {0{,}11} \right) = 45 - 0{,}5.0{,}11 = 44{,}945 \approx 44{,}95$.

a) Đúng. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)$.

b) Sai. Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2$.

c) Đúng. Ta có $IM = \sqrt 2$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R = \sqrt {14}$$\Rightarrow IM < R$.

Vậy điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Sai. Do điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến $\Rightarrow IH \bot \left( P \right)$, do đó bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {14 - I{H^2}}$. Suy ra bán kính $r$ nhỏ nhất khi $IH$ lớn nhất.

Ta có: $IH \le IM \Leftrightarrow IH \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \max IH = \sqrt 2$ khi $M$ trùng $H$, khi đó $IM \bot \left( P \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IM} = \left( {0;\, - 1;\,1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,4;\,0} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)$.

$\,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8;\, - 4;\,8} \right)$: vectơ pháp tuyến của $\left( {ABC} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$: vectơ pháp tuyến của $\left( {ABC} \right)$.

$\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\,3} \right)$: vectơ chỉ phương của $d$.

Khi đó, $\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1.1 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{42}}$$\Rightarrow \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) \approx 5^\circ$.

Đáp án: 5.

Phương trình tham số của đường cáp là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{\left( {k \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}$

Do tốc độ chuyển động của cabin là $4\,{\rm{m/s}}$ nên độ dài $AM = 4t$ $\left( m \right)$.

Vì vậy sau $5$ (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$ thì $AM = 4.5 = 20$ $\left( m \right)$.

Vì $M \in d \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)$. Do 2 vec tơ $\overrightarrow {AM} ;\vec u$ cùng hướng $k > 0$.

$AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20 \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10}$.

Vì $k > 0 \Rightarrow k = \sqrt {10}$.

Vậy tọa độ $M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)$. Khi đó $a + 3b + c = - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6$.

Đáp án: 6.

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2;4} \right) = - 2\left( {2;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {{n_P}}$ cùng phương nên $\overrightarrow {AB} \bot \left( P \right)$, $AB = 6$.

$d\left( {A,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 5 - 2.\left( { - 2} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 8$ và $d\left( {B,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 2.2 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2$.

$AB \cap \left( P \right) = M \Rightarrow M$ cố định.

Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $C$ nên $MC \bot IC$ tại $C$.

$\Rightarrow MA.MB = M{C^2}$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MA = d\left( {A;\;\left( P \right)} \right) = 8\\MB = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M{C^2} = 16 \Leftrightarrow MC = 4$.

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn tâm $M$ bán kính $r = MC = 4$.

Ta có: $AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right.$, $M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ $\Rightarrow d\left( {O\left( P \right)} \right) = 3$, $OH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = - 2t\end{array} \right.$.

$H = OH \cap \left( P \right)$$\Leftrightarrow H\left( { - 2;\; - 1;\;2} \right)$, $HM = \sqrt {13} < 4$ nên $H$ nằm trong đường tròn tâm $M$ bán kính $r = MC = 4$. Suy ra $OC = \sqrt {O{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {9 + H{C^2}}$.

$\Rightarrow OC$ đạt min hoặc max $\Leftrightarrow HC$ đạt min hoặc max

$\left\{ \begin{array}{l}H{C_{\min }} = \left| {HM - r} \right| = 4 - \sqrt {13} \\H{C_{\max }} = HM + r = 4 + \sqrt {13} \end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{C_{\min }} = \sqrt {9 + \left( {4 - {{\sqrt {13} }^2}} \right)} = {m_2}\\O{C_{\max }} = \sqrt {9 + {{\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}^2}} = {m_1}\end{array} \right.$.

Vậy ${m_1}^2 + {m_2}^2 = 76$.

Đáp án: 76.