Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án - Đề 1

Chọn đáp án A

Ta có: $1 + 1 - 3 + 1 = 0 \Rightarrow$ điểm $A\left( {1;1;3} \right) \in \left( P \right).$

Chọn đáp án A

Thay tọa độ của điểm $M\left( {3;4; - 5} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{4 - 4}}{{ - 5}} = \frac{{ - 5 + 5}}{3}.$

Do đó $M \in d$.

Chọn đáp án B

Vì mặt cầu $\left( S \right)$có tâm $A\left( {2;1;0} \right)$, đi qua điểm $B\left( {0;1;2} \right)$ nên mặt cầu$\left( S \right)$ có tâm$A\left( {2;1;0} \right)$ và có bán kính $R = AB$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;2} \right)$. Suy ra $R = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2\sqrt 2$.

Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8$.

Chọn đáp án A

Từ phương trình $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{z}{2} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{2}$, khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;2} \right)$.

Chọn đáp án C

Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d nên $\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {4;3; - 7} \right)$.

Phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4;3; - 7} \right)$.

$4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) - 7\left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4x + 3y - 7z + 11 = 0$.

Chọn đáp án C

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 5;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

a) Đúng. Theo bài ra ta có $B\left( {20;20;0} \right)$ và $H\left( {0\,;0\,;4} \right)$.

b) Sai. Vì $E\left( {20\,;0\,;3} \right)$ và $\overrightarrow {HE} \left( {20\,;0\,; - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $EH$.

c) Đúng. Ta có $F\left( {20\,;20\,;3} \right)$, $\overrightarrow {EF} \left( {0\,;20\,;0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {HE} } \right] = \left( { - 20;0; - 400} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {EFGH} \right)$.

$\left( {ABCD} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k \left( {0\,;0\,;1} \right)$.

$\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) = \frac{{\left| {400} \right|}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = \frac{{400}}{{20\sqrt {401} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}$.

Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng $2{,}86^\circ$.

d) Đúng.

Gọi $I$ là tâm hình vuông $ABCD$ và $MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}$.

Suy ra $M.ABCD$ là hình chóp đều nên $MI \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta có $DB = 20\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right) \Rightarrow ID = 10\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)$.

Xét tam giác $MID$vuông tại $I$: $MI = \sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 8\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vì $MI\,{\rm{//}}\,DL,\,MI = DL = 8\,{\rm{m}}$.

Do đó $DIML$ là hình bình hành nên $ML = ID = 10\sqrt 2 \,{\rm{m}}$.

a) Sai. Ta có $OA = \sqrt {{{\left( { - 65} \right)}^2} + {{\left( { - 25} \right)}^2} + {{30}^2}} \approx 75{,}8\,{\rm{km}}$.

Khi máy bay ở vị trí $A\left( { - 65; - 25;30} \right)$ thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng $d \approx 75{,}8\,{\rm{km}} > 70\,{\rm{km}}$.

Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay không theo dõi được máy bay.

b) Đúng. Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;\,1;\,0} \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { - 65; - 25;30} \right)$ nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 65 + t\\y = - 25 + t\\z = 30\end{array} \right.$.

c) Sai. Thay $x,\,y,\,z$ theo $t$ vào phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ ta được phương trình:

${\left( { - 65 + t} \right)^2} + {\left( { - 25 + t} \right)^2} + {30^2} = 4900 \Leftrightarrow 2{t^2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ hoặc $t = 85$

Thay $t = 5$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $M\left( { - 60; - 20;30} \right)$.

Thay $t = 85$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $N\left( {20;60;30} \right)$.

Suy ra đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $M\left( { - 60; - 20;30} \right)$ và $N\left( {20;60;30} \right)$.

Hay độ dài đoạn $MN$ là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

$MN = \sqrt {{{\left( {60 + 20} \right)}^2} + {{\left( {20 + 60} \right)}^2}} = 80\sqrt 2 \,{\rm{km}}$.

Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quãng đường $80\sqrt 2 \,{\rm{km}}$.

Thời gian đó bằng $\frac{{80\sqrt 2 }}{{200}}.60 \approx 33{,}94$ phút.

d) Đúng. Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm $O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)$ không quá $70\,{\rm{km}}$. Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {70^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900$.

Phương trình tham số của đường thẳng $a$:$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 + t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Ta có $a \cap \left( P \right) = F$.

Xét phương trình $- 3 + t + 1 + t - 2\left( { - 2 + 4t} \right) + 6 = 0$.

Giải phương trình ta được nghiệm $t = \frac{4}{3}$. Suy ra $F\left( { - \frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{{10}}{3}} \right)$.

Ta có $A\left( { - 3 + u,1 + u, - 2 + 4u} \right) \in a$ và $FA = 40\sqrt 3$.

Suy ra $\sqrt {{{\left( { - 3 + u + \frac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( {1 + u - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4u - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}} = 40\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \frac{{4 - 20\sqrt 6 }}{3}\\u = \frac{{4 + 20\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $u = \frac{{4 + 20\sqrt 6 }}{3}$, ta có $A\left( {\frac{{ - 5 + 20\sqrt 6 }}{3},\frac{{7 + 20\sqrt 6 }}{3},\frac{{10 + 80\sqrt 6 }}{3}} \right)$. Khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là $d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{ - 5 + 20\sqrt 6 }}{3} + \frac{{7 + 20\sqrt 6 }}{3} - 2\frac{{10 + 80\sqrt 6 }}{3} + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + {{( - 2)}^2}} }} = 40\,{\rm{(cm)}}$.

Trường hợp 2: $u = \frac{{4 - 20\sqrt 6 }}{3}$, ta có $A\left( {\frac{{ - 5 + 20\sqrt 6 }}{3},\frac{{7 + 20\sqrt 6 }}{3},\frac{{10 + 80\sqrt 6 }}{3}} \right)$. Khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là $d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{ - 5 - 20\sqrt 6 }}{3} + \frac{{7 - 20\sqrt 6 }}{3} - 2\frac{{10 - 80\sqrt 6 }}{3} + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + {{( - 2)}^2}} }} = 40\,{\rm{(cm)}}$.

Đáp án: 40.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính $R = 6{,}4$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 40{,}96$.

Ta có: $OA = 30;OB = 30;AB = 30\sqrt 2$. Suy ra $\Delta OAB$ cân tại $O$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $H\left( {15;15;0} \right)$, ta có $OH \bot AB$.

Đường thẳng $OH$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {OH} \left( {15;15;0} \right) = 15\left( {1;1;0} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$.

Để $M \in \left( {OAB} \right)$ thỏa mãn $MA + MB$ nhỏ nhất thì $M,A,B$ phải đồng phẳng và $MA = MB$.

Vì $MH$ nhỏ nhất nên $M$ là giao điểm của $OH$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình: ${t^2} + {t^2} + {0^2} = 40{,}96 \Leftrightarrow 2{t^2} = 40{,}96 \Leftrightarrow t = \pm \frac{{16\sqrt 2 }}{5}$.

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_1}H \approx 14{,}81\\{M_2}\left( {\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_2}H \approx 27{,}61\end{array} \right..$

Vậy điểm cần tìm là: $M\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right)$ .

$T = MA + MB = 2MA = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 30} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 0} \right)}^2} + {0^2}} \approx 51{,}7$.

Đáp án: 51,7.

Ta có $\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5$, $\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} = 13$, $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}} = 5$.

Vận tốc thực tế của máy bay Su-30 là $\overrightarrow {{V_1}} = \frac{{900}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}\overrightarrow {{v_1}} + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u$ $= \left( {492;720;64} \right)$.

Phương trình chuyển động của máy bay Su-30 là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 492t\\y = 35 + 720t\\z = 10 + 64t\end{array} \right.$.

Vận tốc thực tế của máy bay MiG-31 là $\overrightarrow {{V_2}} = \frac{{910}}{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}\overrightarrow {{v_2}} + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u$ $= \left( {302;840;64} \right)$.

Phương trình chuyển động của máy bay MiG-31 là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 31 + 302t\\y = 10 + 840t\\z = 11 + 64t\end{array} \right.$.

Khu vực không phận bị hạn chế là $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 178} \right)^2} + {\left( {y - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le z \le 43\end{array} \right.$.

Máy bay MiG-31 bay vào không phận bị hạn chế khi

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {31 + 302t - 178} \right)^2} + {\left( {10 + 840t - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le 11 + 64t \le 43\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0{,}4918 \le t \le \frac{1}{2}$.

Do đó, thời điểm máy bay MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế là $t = 0{,}5$ (giờ).

Khi đó, vị trí của hai máy bay Su-30 và MiG-31 là $A\left( {246;395;42} \right)$ và $B\left( {182;430;43} \right)$.

Khoảng cách giữa chúng là $AB \approx 73$ (km).

Đáp án: 73.