Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 1 có đáp án - Đề 1

Chọn B

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2$là tiệm cận ngang

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy đạo hàm $y'$ của hàm số chỉ đổi dấu một lần khi $x$ đi qua ${x_0} = 1$ nên hàm số chỉ có một cực trị duy nhất, do đó phương án D sai.

Chọn B

Ta có: $2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}$.

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra số nghiệm phương trình $2f\left( x \right) - 5 = 0$ là $1$.

Chọn D

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm bậc 3 có hệ số $a > 0$

(do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right) = + \infty$ nếu $a > 0$ ). Loại A, B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên chọn D.

Chọn C

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;5} \right]$ bằng $3$.

a) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) \ge 0$ với $\forall x \ge 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu một lần qua $x = 1$ nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số $f'\left( x \right)$ có dạng: $f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ đi qua $\left( {0; - 4} \right)$ nên: $- 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1$.

Vậy $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16$.

d) Đúng. Ta có: $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1$.

Vẽ đường thẳng $y = x - 1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$.

Khi đó: $f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$.

Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$.

a) Đúng.

$h\left( t \right) = - 0{,}01{t^3} + 1{,}1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow h'\left( t \right) = - 0{,}03{t^2} + 2{,}2t - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 55 \notin \left( {0;50} \right)\\t = 18 \in \left( {0;50} \right)\end{array} \right.$

b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy trong $50$ giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm $t \approx 18\left( s \right)$.

c) Đúng. $h\left( t \right) = - 0{,}01{t^3} + 1{,}1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0{,}03{t^2} + 2{,}2t - 30$

$\Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0{,}06t + 2{,}2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37$

Vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là $10{,}33\,\left( {km/s} \right)$.

d) Sai. $h\left( t \right) = - 0{,}01{t^3} + 1{,}1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0{,}03{t^2} + 2{,}2t - 30$

$\Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0{,}06t + 2{,}2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37$

Khi đó: ${v_{{\rm{max}}}} = 10{,}33 \Leftrightarrow t \approx 37;\,\,\,\,h\left( {37} \right) = 139{,}37$km.

Ta có $v = S'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}$ suy ra $v'\left( t \right) = 12 - 6t$ nên $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Bảng biến thiên:

Do vậy ${v_{\max }} = 12\,\left( {m/s} \right)$ tại $t = 2\,\left( s \right)$.

Đáp án: 2.

Gọi chiều rộng của bể là $3x{\rm{ }}\left( m \right)$. Ta có chiều dài bể là $4x{\rm{ }}(m)$ và chiều cao của bể là $\frac{2}{{3{x^2}}}{\rm{ }}\left( m \right)$

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

$T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}} = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)$.

Chi phí $C$ (tính theo đồng) xây dựng là: $C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000$ (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là $28$ triệu đồng.

Đáp án: 28.

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là $v - 6$, khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}$.

Khi đó, $E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{300}}{{v - 6}}$ với $v > 6$. Đặt $x = v - 6$.

Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:

$f\left( x \right) = 300c\frac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{x} = 300c\left( {{x^2} + 18x + 108 + \frac{{216}}{x}} \right)$ với $x > 0$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 300c\left( {2x + 18 - \frac{{216}}{{{x^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 18{x^2} - 216 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Bảng biến thiên:

Vậy $\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$ hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là $v = 9km/h$ thì cá ít tốn năng lượng nhất.

Đáp án: 9