Đề kiểm tra Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án - Đề 2

Chọn C

Ta có ${\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)^\prime } = \cos 2x$.

Chọn D

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \,{\rm{d}}x = {e^x} + {x^2} + C$.

Chọn D

$\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]{\rm{d}}x}$$= \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g(x){\rm{d}}x}$$= 3 + 2 = 5$.

Chọn C

Diện tích hình vuông có cạnh là $\sqrt {9 - {x^2}}$ là $S = 9 - {x^2}$.

Thể tích của vật thể đó bằng $\int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18$.

Chọn C

Ta có, họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$ là: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {3{x^2}dx} = {x^3} + C.$

Mặt khác, $F\left( 0 \right) = 5 \Rightarrow C = 5$. Vậy $F\left( x \right) = {x^3} + 5$.

Chọn B

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = f(x),\;y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a,\;x = b$được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^7 {\left| {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right|} {\rm{d}}x$.

a) Đúng. Ta có $N'\left( 1 \right) = 18.1 - {3.1^2} = 15$ triệu tế bào/ml giờ.

b) Sai. Ta có $\int {N'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {18t - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 9{t^2} - {t^3} + C$ ($C \in \mathbb{R}$).

c) Đúng. Ta có $N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + C$ ($C \in \mathbb{R}$).

Mà $N\left( 0 \right) = 10$ nên $C = 10$. Vậy $N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + 10$.

Tại thời điểm $t = 6$, ta có $N\left( 6 \right) = {9.6^2} - {6^3} + 10 = 118$. Ban đầu ($t = 0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N\left( 0 \right) = 10$ triệu tế bào/ml nên tại thời điểm $t = 6$, mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml.

d) Đúng. Tại thời điểm $t = 7$ giờ, ta có $N\left( 7 \right) = {9.7^2} - {7^3} + 10 = 108$ nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.

Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc $v\left( t \right) = a.t$, $\left( {a > 0} \right)$.

Đến khi xe đạt vận tốc ${\rm{10}}\,{\rm{m/s}}$ thì xe chuyển động hết ${t_1} = \frac{{10}}{a}\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc ${v_2} = 10 - bt$, $\left( {b > 0} \right)$.

Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được $10 - b{t_2} = 0 \Rightarrow {t_2} = \frac{{10}}{b}\left( {\rm{s}} \right)$.

Tổng thời gian hành trình: ${t_1} + 40 + {t_2} = 70 \Rightarrow \frac{{10}}{a} + \frac{{10}}{b} = 30 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$.

a) Đúng. Nếu gia tốc $a = 0{,}5\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, thời gian tăng tốc ${t_1} = \frac{{10}}{{0{,}5}} = 20\,$giây < $21$ giây.

b) Sai. Nếu gia tốc $b = 0{,}8\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, thời gian giảm tốc ${t_2} = \frac{{10}}{{0{,}8}} = 12{,}5$ giây < $13$ giây.

c) Sai. Với $a > 0,\,\,b > 0$, ta có bất đẳng thức: $\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\,$ mà $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$nên $a + b \ge \frac{4}{3}$.

Do đó $a + b \le \,\frac{5}{4}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$ là một đáp án sai.

d) Đúng. Quãng đường tăng tốc: ${S_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{d}}t} } = \frac{1}{2}a{\left( {{t_1}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{100}}{a} = \frac{{50}}{a}\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ .

Quãng đường giảm tốc: ${S_2} = \int\limits_0^{{t_2}} {\left( {10 - bt} \right){\rm{d}}t} = 10{t_2} - \frac{1}{2}bt_2^2$.

Ta có ${t_2} = \frac{{10}}{b} \Rightarrow {S_2} = 10 \cdot \frac{{10}}{b} - \frac{1}{2}b{\left( {\frac{{10}}{b}} \right)^2} = \frac{{100}}{b} - \frac{{50}}{b} = \frac{{50}}{b}\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Quãng đường chuyển động đều: $10 \cdot 40 = 400\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)$.

Tổng quãng đường:

$$S = {S_1} + 400 + {S_2} = \frac{{50}}{a} + 400{\mkern 1mu} + \frac{{50}}{b} = 50\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + 400 = 150 + 400 = 550\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right).$$

Gọi ${P_A}\left( t \right)$ là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = \int {f\left( t \right)dt = \int {\left( {2t + 7} \right)} } dt = {t^2} + 7t + C$.

Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên ${P_A}\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {0^2} + 7.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy ${P_A}\left( t \right) = {t^2} + 7t$.

Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau $t$ tháng ra mắt sản phẩm là ${P_B}\left( t \right) = 10 + 10t$ ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = {P_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} + 7t = 10 + 10t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 10\\t = 5\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t = 5$.

Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).

Đáp án: 5.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Khi đó $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right).$

Parabol đi qua ba điểm $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right)$ nên parabol có phương trình là $y = - {x^2} + 3.$

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $O\left( {0;1} \right)$ và bán kính $R = 2$ nên có phương trình là ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$.

Suy ra $y = 1 - \sqrt {4 - {x^2}}$ (Phần nằm dưới trục hoành).

Diện tích phần gạch là $S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left[ { - {x^2} + 3 - \left( {1 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]{\rm{d}}x}$.

Do đó diện tích phần không gạch là $S' = \pi {.2^2} - S \approx 3{,}18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}$

Đáp án: 3,18.

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Gọi $L\left( x \right)$ là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.

Theo đề ta có, $L\left( x \right)$là một parabol đi qua ba điểm $\left( {0;13\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {30;10\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {{x_o};\frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right)$ , trong đó ${x_o}$ là vị trí toà nhà có cạnh cạnh ${L_{min}} = 13{,}75\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Ta có $L\left( x \right) = a{\left( {x - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}L\left( 0 \right) = a{\left( {0 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 13\sqrt 2 \\L\left( {30} \right) = a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 10\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{\left( {{x_o}} \right)^2} = \frac{{49\sqrt 2 }}{8}\\a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{8}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{{\left( {30 - {x_o}} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 105\,\left( L \right)\\{x_o} = 17{,}5\,\,\left( {TM} \right) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}\end{array} \right.\,$

Suy ra $L\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{\left( {x - 17{,}5} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Do đó, diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = 2{\left[ {L\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]^2}$.

Vậy thể tích của toà nhà là $V = \int\limits_0^{30} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{30} {2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \approx 8976\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Đáp án: 8976.