Đề kiểm tra Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án - Đề 2

Chọn D

Ta có $\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$ nên $\overrightarrow a = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 3} \right)$.

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$.

Mặt khác $O$ là trung điểm $AC' \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$.

Chọn A

Mà theo giả thiết $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$, suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$.

Chọn C

Ta có: $EG{\rm{//}}AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật)$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$.

Chọn B

Ta có tọa độ trung điểm $I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {3; - 1;2} \right)$.

Chọn C

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 = 4$.

a) Đúng. Tọa độ điểm $A$ là $\left( {2;0;0} \right)$.

b) Sai. Ta có $OD = AD - OA = 8 - 2 = 6$m.

Tọa độ điểm $C\left( { - 6;\,6;0} \right)$.

Vì vậy $\overrightarrow {AC} = \left( { - 8;6;0} \right)$.

c) Sai. Gọi $M$ là trung điểm của $HG$ nên $QM = 7 - 5 = 2$m, $MG = \frac{{HG}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 3$m.

Ta có $QG = \sqrt {Q{M^2} + M{G^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$m.

Diện tích cần lợp là $S = 2{S_{PQGF}} = 2.8.\sqrt {13} = 16\sqrt {13}$m.

Số tiền cần phải trả là $S.22.11\,000 \approx 13\,961\,000$ đồng.

d) Đúng. Gọi $J$ là trung điểm của $BC$ nên $J\left( { - 2;6;0} \right)$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $FG$ nên $I\left( { - 2;6;5} \right)$.

Ta có $KI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = 2\sqrt {10}$m.

Vì vậy ${d_{\min }} = OK + KI = 5 + 2\sqrt {10}$.

a) Sai. Máy bay đang di chuyển từ điểm $M\left( {500;\,200;\,10} \right)$ đến điểm $N\left( {800;\,300;\,10} \right)$. Hoành độ $x$ và tung $y$ tăng lên, cao độ $z$ không đổi. Máy bay đang di chuyển ra xa vị trí đặt ra đa.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {MN} \left( {300;\,100;\,0} \right)$ suy ra $MN = \sqrt {{{300}^2} + {{100}^2} + {0^2}} = 100\sqrt {10} \,\,{\rm{km}}$.

c) Sai. 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Tốc độ của máy bay khi di chuyển từ $M$ đến $N$ là $\frac{{100\sqrt {10} }}{{\frac{1}{3}}} = 300\sqrt {10} \,\,{\rm{km/h}}$.

d) Sai.

Trong 20 phút, máy bay di chuyển từ điểm $M\left( {500;\,200;\,10} \right)$ đến điểm $N\left( {800;\,300;\,10} \right)$.

Nếu giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 4 phút tiếp theo máy bay di chuyển đến vị trí điểm $Q\left( {a;\,b;\,c} \right)$ sao cho $\overrightarrow {NQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MN}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - 800 = \frac{1}{5}.300\\b - 300 = \frac{1}{5}.100\\c - 10 = \frac{1}{5}.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 860\\b = 320\\c = 10\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {860;\,320;\,10} \right)$. Vậy $a + b + c = 1190$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}$

$= \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2\overrightarrow {{F_1}} {{\vec F}_2} + 2\overrightarrow {{F_2}} {{\vec F}_3} + 2{{\vec F}_3}{{\vec F}_1}}$

$= \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2{F_1}{F_2}{\rm{cos}}110^\circ + 2{F_2}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ + 2{F_1}{F_3}{\rm{cos}}90^\circ }$

$= \sqrt {{9^2} + {4^2} + {7^2} + 2.9.4.{\rm{cos}}110^\circ + 2.4.7.0 + 2.9.7.0} \approx 11\,\,\left( {\rm{N}} \right)$.

Đáp án: 11.

Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ $A\left( {23;18;2} \right)$ máy bay thứ hai có tọa độ $B\left( { - 22; - 27;3} \right)$.

Gọi $M$ là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là $M \in mp\left( {Oxy} \right)$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M\left( {a;b;0} \right)$.

Ta cần tìm tọa độ của $M$ để $MA + MB$ nhỏ nhất.

Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía đối với $mp\left( {Oxy} \right)$.

Gọi $B'\left( { - 22; - 27; - 3} \right)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $mp\left( {Oxy} \right) \Rightarrow MB = MB'$.

Có $MA + MB = MA + MB' \ge AB'$.

Khi đó $MA + MB$ nhỏ nhất bằng $AB'$ khi $M$ là giao điểm của $AB'$ với $mp\left( {Oxy} \right)$ nghĩa là lúc này ba điểm $A,M,B'$ thẳng hàng.

Có $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 23;b - 18; - 2} \right),\overrightarrow {AB'} = \left( { - 45; - 45; - 5} \right)$ mà ba điểm $A,M,B'$ thẳng hàng.

Suy ra $\frac{{a - 23}}{{ - 45}} = \frac{{b - 18}}{{ - 45}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = 5;b = 0 \Rightarrow M\left( {5;0;0} \right)$.

Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và $OM = 5\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Đáp án: 5.

Ta có CDFE là hình chữ nhật và I là trung điểm của CE, nên F và D đối xứng nhau qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$.

Có $F\left( {4; - 4;7} \right)$, suy ra $D\left( {4;4;7} \right)$.

Xét hình thang ADFG, có A đối xứng với G qua mặt $\left( {Oxz} \right)$.

Có $G\left( {6; - 6;6} \right)$, suy ra $A\left( {6;6;6} \right)$.

Ta có điểm B nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, tọa độ điểm $B\left( {0;6;6} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;0;0} \right)$ và $\overrightarrow {DC} = \left( { - 1;0;1} \right)$, có:

${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} \left| . \right|\overrightarrow {DC} } \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {{6^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {DC}$ và $\overrightarrow {AB}$ bằng $45^\circ$.

Đáp án: 45.