Đề kiểm tra Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án - Đề 1

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1\,;\,1 - \left( { - 1} \right)\,;\, - 4 - 2} \right) = \left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.6.\cos 120^\circ = 2.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6$.

Chọn D

Toạ độ điểm $H$ là $H\left( {1;2;0} \right)$.

Chọn A

Ta có: $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v = \left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)$.

a) Đúng. Ra đa đặt trên đỉnh tháp, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp $E(0;0;0{,}1)$.

b) Đúng. Tọa độ điểm $F\left( {400; - 300;12} \right)$.

$\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11{,}9} \right) \Rightarrow EF \approx 500 < 600\,{\rm{km}}$. Vậy $F$nằm trong phạm vi điều khiển của ra đa.

c) Sai. Từ $F$, máy bay bay 1 giờ đến $A$ với vận tốc $90\,\,{\rm{km/h}}$ theo phương $\vec a = (3;4;0)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {AF} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.$

Suy ra $\overrightarrow {AF} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).$

d) Sai. Gọi $K\left( {x,y,z} \right)$ là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của ra đa, suy ra $EK = 600;$$EF \approx 500$.

Khi đó $\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11{,}9} \right)$, mà $EK = 600.$

Suy ra ${\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858{,}39 \Leftrightarrow k \approx 66.$

Khi đó $K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330$.

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của ra đa $t = \frac{{330.60}}{{900}} = 22$ phút.

a) Sai. Ta có: $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$. Suy ra: $I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0} \right)$.

Mặt khác ta có $O\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{1}{6}} \right)$. Vậy $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{3}} \right)$.

b) Đúng. Toạ độ các điểm $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$ và $A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$.

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \Rightarrow P\left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)$;

$\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \Rightarrow Q\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

Suy ra: $A'P = 3\,,\,A'Q = 4,PQ = 5$.

$J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'PQ$. Suy ra $PQ.\overrightarrow {JA'} + A'P.\overrightarrow {JQ} + A'Q.\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 5\overrightarrow {JA'} + 3\overrightarrow {JQ} + 4\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \Rightarrow J\left( {1;1;0} \right)$.

Vậy $a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0$.

d) Đúng. Giả sử: $N\left( {a;b;c} \right)$.

Ta có $\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {D'N} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {D'N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 1} \right) + {b^2} + c\left( {c - 1} \right) = 0\\a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 0\\a = b = c = \frac{2}{3}\end{array} \right.$. Vậy có hai điểm $N$ thoả mãn điều kiện.

Biết ba sợi dây được thắt một đầu bên trên là điểm $S$, ba sợi dây đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều $ABC$, độ dài sợi dây $SA = SB = SC = 60\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$, bán kính hình tròn$OA = OB = OC = 20\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Ta có hình chóp tam giác đều $S.ABC$, gọi $O$là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow SO \bot (ABC)$ và $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = 40\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Gọi lực chịu đựng của mỗi sợi dây là ${T_1},\;T{}_2,{T_3}$các lực này bằng nhau và không quá 15 N $\Rightarrow {T_1} = {T_2} = {T_3} \le 15{\rm{N}}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \le 15\,{\rm{N}}$.

Lại có $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {SO}$.

Gọi $P$là lực tác động lên miếng kê (là tổng lực của miếng giá gỗ hình tròn và lực của các chậu hoa) nên $P = \left| {3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO$.

Vì $P$chia đều ra ba sợi dây

$\Rightarrow \frac{P}{{3{T_1}}} = \frac{{3SO}}{{3SA}} = \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{60}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow {T_1} = \frac{P}{{2\sqrt 2 }} \le 15{\rm{N}} \Leftrightarrow P \le 30\sqrt 2 {\rm{N}}$.

Suy ra trọng lượng của các chậu hoa là ${P_{hoa}} + {P_{go}} \le 30\sqrt 2 N \Leftrightarrow {P_{hoa}} \le \left( {30\sqrt 2 - 5} \right)N \approx 37{,}4{\rm{N}}$.

Vậy trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là $37{,}4{\rm{N}}$.

Đáp án: 37,4.

Vì $M$ thuộc mặt phẳng sàn nhà có chiều dài 8 m, rộng 6 m nên $M\left( {x;y;0} \right)$ với $0 \le x \le 8{,}0 \le y \le 6$.

Cây quạt $A$ treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt $B$ treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m.

Suy ra $A\left( {4;0;3} \right),B\left( {0{,}3,\frac{5}{2}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {4 - x, - y,3} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - x,3 - y,\frac{5}{2}} \right)$, $\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 6} \right)}^2} + 4}$.

Để $\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất thì ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2}$ nhỏ nhất.

Ta có: ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} \ge {\left( {0 + 4} \right)^2} + 0 = 16$.

Dấu bằng xảy ra khi $x = 0,y = 6$.

Vậy ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {0^2} + {6^2} + {0^2} = 36$.

Đáp án: 36.

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Gọi vị trí của hai chiếc drone lần lượt là $A\left( { - 2{,}5; - 1{,}5;0{,}06} \right)$, $B\left( {3;2{,}5;0{,}04} \right)$, $M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)$ là vị trí tiếp nhiên liệu cần tìm. Do $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $Oxy$, ta gọi điểm đối xứng với $A$ qua $Oxy$ là $A'\left( { - 2{,}5; - 1{,}5; - 0{,}06} \right)$.

Khi đó $AM + BM = A'M + BM \ge A'B$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A',M,B$ thẳng hàng theo thứ tự đó

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {A'B} = \left( {5{,}5;4;0{,}1} \right);\overrightarrow {BM} = \left( {a - 3;b - 2{,}5; - 0{,}04} \right)$ cùng phương.

Suy ra $\frac{{a - 3}}{{5{,}5}} = \frac{{b - 2{,}5}}{4} = \frac{{ - 0{,}04}}{{0{,}1}} \Leftrightarrow a = 0{,}8;b = 0{,}9 \Rightarrow a + b = 1{,}7.$

Đáp án: 1,7.