Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 4 có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng: C

Ta có $\int {2025\sin x\,{\rm{d}}x} = - 2025\cos x + C$.

Đáp án đúng: D

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \,{\rm{d}}x = {e^x} + {x^2} + C$.

Đáp án đúng: A

$$\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.$$

Đáp án đúng: C

Diện tích hình vuông có cạnh là $\sqrt {9 - {x^2}}$ là $S = 9 - {x^2}$.

Thể tích của vật thể đó bằng$\int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18$.

Đáp án đúng: C

Ta có, họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$là: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {3{x^2}dx} = {x^3} + C.$

Mặt khác, $F\left( 0 \right) = 5 \Rightarrow C = 5$. Vậy $F\left( x \right) = {x^3} + 5$.

Đáp án đúng: B

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = f(x),\;y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a,\;x = b$được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^7 {\left| {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right|} {\rm{d}}x$.

a) Đúng.

b) Đúng. $\int {v\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,{\rm{dt}}} = - 5{t^2} + 20t + C$.

Suy ra: $S\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t + C$; $S\left( 0 \right) = 0$$\Rightarrow C = 0$$\Rightarrow S\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t$.

c) Sai. Ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow t = 2$.

d) Đúng. $65\,{\rm{km/h}}\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{325}}{{18}}\,{\rm{m/s}}$.

Người lái xe phản ứng một giây khi phát hiện chướng ngại vật, sau giây đó ô tô đi được $\frac{{325}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right).$

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là:

$S\left( 2 \right) = - {5.2^2} + 20.2 = 20\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy quãng đường ô tô đi được kể từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi ô tô dừng hẳn là:

$\frac{{325}}{{18}} + 20 = \frac{{685}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right) < 50\,\left( {\rm{m}} \right)$. Suy ra, ô tô không va chạm vào chướng ngại vật trên đường.

a) Đúng. Ta có $V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} }$.

Vậy hàm số $V\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right) = k.\sqrt t$.

b) Đúng. Ta có $V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t + C$, với $0 \le t \le 24$và $k,\,\,C$là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có $50000$lít dầu nên $V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000$.

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít nên ta có:

$V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4 + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500$.

Vậy $V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t + 50\,000$.

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

$V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6 + 50\,000 = 114\,000$lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ $500$lít/giờ, thì tại thời điểm $t$bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

$V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9 + 50\,000 - 500.9 = 72\,500$ lít.

Gọi ${P_A}\left( t \right)$ là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = \int {f\left( t \right)dt = \int {\left( {2t + 7} \right)} } dt = {t^2} + 7t + C$.

Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên ${P_A}\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {0^2} + 7.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy ${P_A}\left( t \right) = {t^2} + 7t$.

Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau $t$ tháng ra mắt sản phẩm là ${P_B}\left( t \right) = 10 + 10t$ ($t > 0$).

Ta có ${P_A}\left( t \right) = {P_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} + 7t = 10 + 10t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 10\\t = 5\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t = 5$.

Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).

Đáp án: 5.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Khi đó $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right).$

Parabol đi qua ba điểm $A\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),B\left( {\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {0;3} \right)$ nên parabol có phương trình là $y = - {x^2} + 3.$

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $O\left( {0;1} \right)$ và bán kính $R = 2$ nên có phương trình là ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$.

Suy ra $y = 1 - \sqrt {4 - {x^2}}$ (Phần nằm dưới trục hoành).

Diện tích phần gạch là $S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left[ { - {x^2} + 3 - \left( {1 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]{\rm{d}}x}$.

Do đó diện tích phần không gạch là $S' = \pi {.2^2} - S \approx 3{,}18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}$

Đáp án: 3,18.

Thể tích cát ban đầu là: $\int\limits_0^{20} {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{20} {0{,}2t + 13\,{\rm{d}}t} = 300\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Bán kính đường tròn đáy parabol tròn xoay khi chiều cao cát còn 4cm là: $\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4$.

Xét parabol $\left( P \right):y = a\sqrt x$ đi qua điểm $A\left( {4;4} \right)$ như hình vẽ

Ta có: $A\left( {4;4} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 4 = a\sqrt 4 \Rightarrow a = 2$. Suy ra $\left( P \right):y = 2\sqrt x$.

Khi đó thể tích parabol tròn xoay tạo ra bằng cách xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left( P \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = h$ quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{4\pi {x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^h}\\{_0}\end{array}} \right. = 2\pi {h^2}$ (đvtt).

Suy ra: $2\pi {h^2} = 300$ $\Rightarrow h = \sqrt {\frac{{150}}{\pi }}$.

Vậy chiều cao khối trụ bên ngoài là: $2.\left( {\frac{3}{2}.\sqrt {\frac{{150}}{\pi }} } \right) \approx 21\,\,{\rm{cm}}$.

Đáp án: 21.