Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 4 có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng: C

Ta có ${\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)^\prime } = \cos 2x$.

Đáp án đúng:B

$_{F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} + 2\sin x} \right)} } \,{\rm{d}}x = {e^x} - 2\cos x + C}$

$_{Mà}$$F\left( 0 \right) = 20 \Leftrightarrow {e^0} - 2\cos 0 + C = 20 \Leftrightarrow C = 21$ .

Vậy $F\left( x \right) = {e^x} - 2\cos x + 21$.

Đáp án đúng:D

$\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]{\rm{d}}x}$$= \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g(x){\rm{d}}x}$$= 3 + 2 = 5$.

Đáp án đúng:B

Ta có:$\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - 3} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = - 3 + f\left( 0 \right) = - 3 + 1 = - 2$.

Đáp án đúng:A

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_c^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng:B

Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là

$V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{406}}{{15}}\pi$.

a) Đúng. Ta có $N'\left( 1 \right) = 18.1 - {3.1^2} = 15$ triệu tế bào/ml giờ.

b) Sai. Ta có $\int {N'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {18t - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 9{t^2} - {t^3} + C$ ($C \in \mathbb{R}$).

c) Đúng. Ta có $N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + C$ ($C \in \mathbb{R}$).

Mà $N\left( 0 \right) = 10$ nên $C = 10$. Vậy $N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + 10$.

Tại thời điểm $t = 6$, ta có $N\left( 6 \right) = {9.6^2} - {6^3} + 10 = 118$. Ban đầu ($t = 0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N\left( 0 \right) = 10$ triệu tế bào/ml nên tại thời điểm $t = 6$, mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml.

d) Đúng. Tại thời điểm $t = 7$ giờ, ta có $N\left( 7 \right) = {9.7^2} - {7^3} + 10 = 108$ nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.

Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc $v\left( t \right) = a.t$, $\left( {a > 0} \right)$.

Đến khi xe đạt vận tốc ${\rm{10}}\,{\rm{m/s}}$ thì xe chuyển động hết ${t_1} = \frac{{10}}{a}\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc ${v_2} = 10 - bt$, $\left( {b > 0} \right)$.

Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được $10 - b{t_2} = 0 \Rightarrow {t_2} = \frac{{10}}{b}\left( {\rm{s}} \right)$.

Tổng thời gian hành trình: ${t_1} + 40 + {t_2} = 70 \Rightarrow \frac{{10}}{a} + \frac{{10}}{b} = 30 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$.

a) Đúng. Nếu gia tốc $a = 0{,}5\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, thời gian tăng tốc ${t_1} = \frac{{10}}{{0{,}5}} = 20\,$giây < $21$ giây.

b) Sai. Nếu gia tốc $b = 0{,}8\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, thời gian giảm tốc ${t_2} = \frac{{10}}{{0{,}8}} = 12{,}5$ giây < $13$ giây.

c) Sai. Với$a > 0,\,\,b > 0$,ta có bất đẳng thức:$\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\,$ mà $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$nên $a + b \ge \frac{4}{3}$.

Do đó $a + b \le \,\frac{5}{4}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$ là một đáp án sai.

d) Đúng. Quãng đường tăng tốc: ${S_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{d}}t} } = \frac{1}{2}a{\left( {{t_1}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{100}}{a} = \frac{{50}}{a}\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ .

Quãng đường giảm tốc: ${S_2} = \int\limits_0^{{t_2}} {\left( {10 - bt} \right){\rm{d}}t} = 10{t_2} - \frac{1}{2}bt_2^2$.

Ta có ${t_2} = \frac{{10}}{b} \Rightarrow {S_2} = 10 \cdot \frac{{10}}{b} - \frac{1}{2}b{\left( {\frac{{10}}{b}} \right)^2} = \frac{{100}}{b} - \frac{{50}}{b} = \frac{{50}}{b}\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Quãng đường chuyển động đều: $10 \cdot 40 = 400\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)$.

Tổng quãng đường:

$$S = {S_1} + 400 + {S_2} = \frac{{50}}{a} + 400{\mkern 1mu} + \frac{{50}}{b} = 50\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + 400 = 150 + 400 = 550\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right).$$

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, do đó $- 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ (giây).

Từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường là:

$S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = 50$ (mét).

Đáp án: 50.

Đặt hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

Gọi PT Parabol có dạng: $\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c$.

$\left( P \right)$ có đỉnh $G\left( {0;\,4} \right)$ và đi qua $B\left( {2;\,0} \right)$ suy ra: $a = - 1;\,b = 0;\,c = 4$$\Rightarrow \left( P \right):\,\,y = - {x^2} + 4$.

Ta có: ${x_E} = {x_D} = 1{,}1 \Rightarrow {y_E} = - 1,{1^2} + 4 = 2{,}79$$\Rightarrow ED = 2{,}79$.

${S_{CDEF}} = CD.DF = 2{,}2.2{,}79 = 6{,}138\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $\left( P \right)$ và trục hoành là

${S_{\left( P \right)}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} = \frac{{32}}{3}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Suy ra diện tích làm xiên hoa là: $S = {S_{\left( P \right)}} - {S_{CDEF}} = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Đổi đơn vị: $1\,500\,000$ đồng/m$^{2}$$= 1\,,5$ triệu đồng/m$^{2}$, $1\,000\,000$đồng/m$^{2}$$= 1\,$triệuđồng/m$^{2}$.

Tổng số tiền để làm hai phần nói trên là:

$T = 6{,}138.1{,}5 + \frac{{6793}}{{1500}}.1 \approx 13{,}7$ (triệu đồng).

Đáp án: 13,7.

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Gọi $L\left( x \right)$ là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.

Theo đề ta có, $L\left( x \right)$là một parabol đi qua ba điểm $\left( {0;13\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {30;10\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {{x_o};\frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right)$ , trong đó ${x_o}$ là vị trí toà nhà có cạnh cạnh ${L_{min}} = 13{,}75\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Ta có $L\left( x \right) = a{\left( {x - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}L\left( 0 \right) = a{\left( {0 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 13\sqrt 2 \\L\left( {30} \right) = a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 10\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{\left( {{x_o}} \right)^2} = \frac{{49\sqrt 2 }}{8}\\a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{8}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{{\left( {30 - {x_o}} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 105\,\left( L \right)\\{x_o} = 17{,}5\,\,\left( {TM} \right) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}\end{array} \right.\,$

Suy ra $L\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{\left( {x - 17{,}5} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}$.

Do đó, diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = 2{\left[ {L\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]^2}$.

Vậy thể tích của toà nhà là $V = \int\limits_0^{30} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{30} {2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17{,}5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \approx 8976\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Đáp án: 8976.