Đề kiểm tra Toán 11 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án - Đề 02

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Do đó hàm số liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$. Chọn C.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {3x - 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 2}} = \frac{3}{4}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right)$$= \frac{1}{4}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}$.

Có $f\left( 2 \right) = \frac{3}{4}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$. Do đó hàm số liên tục tại $x = 2$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}$

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {8 + 1} - 2}}{{8 - 3}} = \frac{1}{5}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{3}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}}$$= \frac{1}{4}$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}$$= \frac{1}{2}$.

Suy ra $a = 0;b = \frac{1}{2}$. Do đó $3a + 4b = 2$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

$\lim \frac{{a{n^3} + {n^2} - 4}}{{2{n^3} + 1}} = \lim \frac{{a + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{a}{2}$.

Suy ra $\frac{a}{2} = - 2 \Leftrightarrow a = - 4$.

Trả lời: −4.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{1 - \sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\left( {1 - \sqrt {x + 3} } \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{ - 1}}{{\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}} = - 0{,}5$.

Trả lời: −0,5.

Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là ${u_1} \Rightarrow {u_1} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$.

Khi đó ${u_2} = \frac{2}{3}{u_1};{u_3} = \frac{2}{3}{u_2};....$

Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = 8;q = \frac{2}{3}$.

Khi đó tổng quãng đường quả bóng di chuyển là

$S = 12 + 2{u_1} + 2{u_2} + ... + 2{u_n} + ...$$= 12 + 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...} \right) = 12 + 2 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$$= 12 + 2 \cdot \frac{8}{{1 - \frac{2}{3}}} = 60$.

Trả lời: 60.