Đề kiểm tra Toán 11 Cánh diều Chương 8 có đáp án - Đề 2

Lời giải

Có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot AH$.

Lại có $AH \bot SB$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $H$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Chọn A.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Do đó $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right)$. Chọn B.

Do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đều nên $\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot B'C'\\AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\end{array} \right.$.

Do đó $d\left( {AM,B'C'} \right) = AA' = 2a$. Chọn A.

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$.

b) $SA \bot \left( {ABCD} \right)$.

c) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$.

d) Hạ $AH \bot SB$ (1).

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BC$ mà $BC \bot AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lăng trụ đều nên $BD \bot AC$ và $BD \bot AA'$. Do đó $BD \bot \left( {ACC'A'} \right)$.

b) Ta có $\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'$ mà $AC \bot AA',AD \bot AA'$ nên

$\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ$.

c) Ta có $AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5$; $AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$; $B'C' = a$. Suy ra $\Delta AB'C'$ vuông tại $B'$.

Vì $BC//B'C'$ nên $BC//\left( {ADC'B'} \right)$.

Khi đó $d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d$.

Ta có ${V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.

$d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

d) ${V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Từ giả thiết suy ra $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng.

Gọi $M'$ là trung điểm của $B'C'$.

Suy ra $MM'//BB'$ mà $BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)$ nên $MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)$.

Do đó $A'M'$ là hình chiếu của $A'M$ lên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$.

Do đó $\left( {A'M,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'M,A'M'} \right) = \widehat {MA'M'}$.

Ta có $\Delta A'B'C'$ đều cạnh $a$ nên $A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $MM' = BB' = 2a$.

Vì $MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)$ nên $MM' \bot A'M'$.

Xét $\Delta A'M'M$ vuông tại $M'$ , có $\tan \widehat {MA'M'} = \frac{{MM'}}{{A'M'}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \approx 2{,}31$.

Trả lời: 2,31.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow SO \bot CD$ (1).

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $OI \bot CD$ (2) và $OI = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3$.

Từ (1) và (2), suy ra $CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot SI$.

Khi đó $\left[ {A,CD,S} \right] = \widehat {SIO} = 60^\circ$.

Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O$, có $SO = OI \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 \cdot \tan 60^\circ = 3$.

Khi đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12$.

Trả lời: 12.

Gọi độ dài cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Theo đề ta có: $ab = 15;bc = 24;ac = 40$.

Suy ra ${\left( {abc} \right)^2} = 15 \cdot 24 \cdot 40 = 14400 \Rightarrow abc = 120$.

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 120 cm$^{3}$.

Trả lời: 120.