Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 có đáp án (Đề 2)

a) Số cách chọn một tổ 5 bạn bất kì là $C_{12}^5 = 792$ cách.

b) Số cách chọn một tổ 5 bạn trong đó có cả hai bạn A và B là $C_{10}^3 = 120$ cách.

c) Chọn một tổ 5 bạn trong đó không có hai bạn A và B là $C_{10}^5 = 252$ cách.

d) Số cách chọn 5 bạn trong đó có đúng một bạn trong hai bạn A và B là

$792 - 120 - 252 = 420$ cách.

Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 5 bạn này có 5 cách.

Vậy có $5 \cdot 420 = 2100$ cách chọn trong trường hợp này.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Có $A_4^3 = 24$ số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4.

b) Gọi số cần lập là $\overline {abc}$.

Vì số cần lập là số lẻ nên $c \in \left\{ {1;3;5} \right\}$. Có 3 cách chọn $c$.

Có 4 cách chọn $a$. Có 4 cách chọn $b$.

Do đó có $4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$ số lẻ có ba chữ số khác nhau.

c) Gọi số cần lập là $\overline {abc}$.

Số cần lập chia hết cho 5 nên $c \in \left\{ {0;5} \right\}$ nên có 2 cách chọn $c$.

Có 8 cách chọn $a$. Có 9 cách chọn $b$.

Suy ra có $8 \cdot 9 \cdot 2 = 144$ số có ba chữ số chia hết cho 5 lập được từ các số trên.

d) Gọi số cần lập là $\overline {abcd}$.

Số cần lập là số chẵn nên $d \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}$ nên có $4$ cách chọn $d$.

Có $6$ cách chọn a.

Có 7 cách chọn $b$.

Có 7 cạch chọn $c$.

Suy ra có $6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 4 = 1176$ số chẵn có 4 chữ số được lập từ các số trên.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $A_n^3 + 2A_n^2 = 48$$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 48$$\Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n + 2{n^2} - 2n - 48 = 0$

$\Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0$$\Leftrightarrow n = 4$ (vì $n$ nguyên dương).

Khi đó ta có khai triển ${\left( {1 - 3x} \right)^4} = {1^4} + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 3x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^3} + {\left( { - 3x} \right)^4}$

$= 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}$.

Suy ra hệ số của ${x^3}$ là $- 108$.

Sắp xếp 4 học sinh lớp 10, 11 có $4! = 24$ cách.

Khi đó có 5 chỗ trống đứng đan xen 4 học sinh lớp 10, 11.

Sắp xếp 4 học sinh lớp 12 vào 5 chỗ trống có $A_5^4 = 120$ cách.

Vậy có $24 \cdot 120 = 2880$ cách.

Ta có ${\left( {3x - 2} \right)^4} = C_4^0{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot \left( { - 2} \right) + C_4^2 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + C_4^3 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4 \cdot {\left( { - 2} \right)^4}$

$= 81{x^4} - 216{x^3} + 216{x^2} - 96x + 16$.

Vậy ${a_1} + {a_2} + {a_3} = \left( { - 96} \right) + 216 + \left( { - 216} \right) = - 96$.