Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $\left( {3\,;\, - 4} \right)$.

Chọn D

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y = f\left( x \right) + 2024$ đồng biến khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$.

Chọn B

Đặt $f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2}$ có đồ thị .

Khi đó $g\left( x \right) = \left| {x - 1} \right|\left( {{x^2} + x - 2} \right) = \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right),x > 1\\ - f\left( x \right),x \le 1\end{array} \right.$.

Do đó đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ gồm hai phần:

Phần 1: Lấy một phần đồ thị $\left( C \right)$ ứng với $x > 1.$

Phần 2: Với phần đồ thị $\left( C \right)$ ứng với $x \le 1$ ta lấy đối xứng qua trục $Ox$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right).$

Chọn A

$$y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{{m^2} + 3}}{2}{x^2} - \left( {{m^3} + m - 2} \right)x + {m^2}$$

$$y' = {x^2} - \left( {{m^2} + 3} \right)x - \left( {{m^3} + m - 2} \right)$$

$$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{m^2} + 3} \right)x - \left( {{m^3} + m - 2} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow {x^2} - \left( { - m + 1} \right)x - \left( {{m^2} + m + 2} \right)x + \left( { - m + 1} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left( {x + m - 1} \right)\left( {x - {m^2} - m - 2} \right) = 0$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + m - 1 = 0\\x - {m^2} - m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - m + 1\\x = {m^2} + m + 2\end{array} \right.$.

Ta có ${m^2} + m + 2 - \left( { - m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0$ nên để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu thì $m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1$, và ta cũng suy ra được ${m^2} + m + 2 > - m + 1$ với mọi $m \ne - 1$ nên , ${x_{{\rm{CT}}}} = {m^2} + m + 2$ .

Mà $m$ nguyên thuộc đoạn $\left[ { - 9;9} \right]$, $m \ne - 1$ nên $m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 2} \right\}$.

Vậy có $8$ giá trị của $m$ thỏa mãn ycbt.

Chọn A

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn B

Ta có $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng biến thiên $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 4$.

$\Rightarrow x = 4$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Chọn D

Ta có:

$y = {x^4} - 12{x^2} + \left( {m - 2} \right)x$

$\Rightarrow y' = 4{x^3} - 24x + m - 2$

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $y' = 4{x^3} - 24x + m - 2 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow m = - 4{x^3} + 24x + 2\left( {\rm{*}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $g\left( x \right) = - 4{x^3} + 24x + 2$ ta có $g'\left( x \right) = - 12{x^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2$

BBT:

Để phương trình $\left( {\rm{*}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt thì $- 16\sqrt 2 + 2 < m < 16\sqrt 2 + 2$.

Mà $m$ là số nguyên $\Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19; \ldots ;23;24} \right\}$ nên có 45 giá trị $m$ thoả mãn.

Chọn B

Đặt $t = - {x^3} - x + m + 3$. Ta có $t' = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)$

Suy ra $t$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Với $x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$.

Hàm số $g\left( x \right)$ trở thành $h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - t{(3 - t)^2} \Leftrightarrow h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - {t^3} + 6{t^2} - 9t$

Ta có $h'\left( t \right) = 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9$

Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow h\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {m - 27;m + 3} \right)$

$\Leftrightarrow h'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9 \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$.

$\Leftrightarrow f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và đồ thị hàm số $y = {t^2} - 4t + 3$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được:

$f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t \le 0}\\{t \ge 3}\end{array},\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + 3 \le 0}\\{m - 27 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le - 3}\\{m \ge 30}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Kết hợp điều kiện $m \in \left( { - 100;100} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 100 < m \le - 3}\\{30 \le m \le 100}\end{array}} \right.$

Vậy có $168$ giá trị nguyên của $m \in \left( { - 100;100} \right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ bảng biến thiên, ta thấy: $y' > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right),\,\,\left( {0;1} \right)$

Hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ xác định $\forall x \ne - 1$

Ta có: $y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$

Hàm số $y = {x^3} + 2x$ xác định $\forall x \in \mathbb{R}$

Ta có: $y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Ta có $y' = f'\left( {5 - 2x} \right)$$= - 2f'\left( {5 - 2x} \right)$.

$y' = 0$$\Leftrightarrow - 2f'\left( {5 - 2x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x = - 3\\5 - 2x = - 1\\5 - 2x = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 3\\x = 2\end{array} \right.$.

$f'\left( {5 - 2x} \right) < 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x < - 3\\ - 1 < 5 - 2x < 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\2 < x < 3\end{array} \right.$; $f'\left( {5 - 2x} \right) > 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x > 1\\ - 3 < 5 - 2x < - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 2\\3 < x < 4\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( {5 - 2x} \right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = f\left( {5 - 2x} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {4\,;\,5} \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

+Khi $m = - 1$ ta có $y = 2{x^3} + 6x + 2 \Rightarrow$$y' = 6{x^2} + 6 > 0$ nên hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$a đúng

+Khi $m = 1$ ta có $y = 2{x^3} + 4{x^2} + 6x + 6 \Rightarrow$$y' = 6{x^2} + 8x + 6$

Có $\Delta ' = 16 - 36 = - 20 < 0$$\Rightarrow y' = 6{x^2} + 8x + 6{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ Hàm số không có cực trị khi $m = 1$$\Rightarrow$b đúng

Ta có: $y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6$.

+ Hàm số $y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$$y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$$

$$\Leftrightarrow \Delta ' = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 2.$$

Vậy $m \in \left[ { - 4;2} \right]$

Với $m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\} \Rightarrow c$ sai

+ có $y'' = 12x + 4\left( {m + 1} \right)$. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y'(2) = 0}\\{y''(2) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{38 + 8m = 0}\\{28 + 4m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = - \frac{{38}}{8}}\\{m > - 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{{38}}{8}$$\Rightarrow$d sai

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

ta có $y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m \Rightarrow$$y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)$

+ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$khi và chỉ khi $y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

$$\Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) \le 0 \Leftrightarrow 12 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1.$$

Với $\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023;...; - 1} \right\}$$\Rightarrow$a sai

+ Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) = 0{\rm{ }}$có hai nghiệm phân biệt

$$\Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) > 0 \Leftrightarrow 12 + 12m > 0 \Leftrightarrow m > - 1.$$

Với$\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;2024} \right\}$$\Rightarrow$b đúng

+Ta có $y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)$.

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in (2; + \infty )$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 - m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

$m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

$f'\left( x \right) = 6x - 6$; $f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để $m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow$$m \le 2$. Vậy $m \in \left( { - \infty ;2} \right]$.

+ Có $\left( { - \infty ;a} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \left( { - \infty ;2} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \emptyset$$\Rightarrow$c sai

+ phương trình ${8^x} = a \Leftrightarrow {8^x} = 2 \Leftrightarrow {2^{3x}} = 2 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow d$sai

+ TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

a. Với $m = - 1:y = \frac{{2x - 6}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}},\,\forall x \in D$

$\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$Mệnh đề a đúng

b. Với $m = 0:y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Từ BBT của hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow$Hàm số nghịch biến trên $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$

$\Rightarrow$Hàm số không nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$Mệnh đề b sai

c. + TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Xét hai trường hợp

TH1: Khi $m = - 1,$ ta có hàm số $y = \frac{{2x - 6}}{{x - 1}}$ và $y' = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D$

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Vậy, $m = - 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: Khi $m \ne - 1,$ ta có $y' = \frac{{(m + 1){x^2} - 2(m + 1)x - 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Đặt $g\left( x \right) = (m + 1){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m$ và ta có $y'$ cùng dấu với $g\left( x \right)$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định$\Leftrightarrow y' > 0,\,\forall x \in D \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in D$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 1)^2} + 4m(m + 1) \le 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m + 1)(5m + 1) \le 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le - \frac{1}{5}$

Vậy tập hợp các giá trị của tham số $m$thỏa mãn yêu cầu của bài toán là $\left[ { - 1; - \frac{1}{5}} \right]$

d. Theo câu c $m = - 1$ thỏa mãn đề bài

Với $m \ne - 1$ Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x - 4}} \le m,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)$ Với mọi $m$dương hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

a) $y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$ do đó với mọi $m > 0$, $y'\, = 0$ có 3 nghiệm bội lẻ $\Rightarrow$ Hàm số có $3$ điểm cực trị.

Suy ra mệnh đề đúng.

b) $y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\,\,;y'' = 12{x^2} - 4m$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y''\left( 0 \right) = - 4m > 0\,\,\forall m < 0\end{array} \right.$do đó với $m < 0$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Vậy mệnh đề sai.

c) Ta có :

Với $m = 0\,,\,\,y' = {x^3}$ Hàm số có một điểm cực tiểu.

Với $m \ne 0$hàm số có $3$ điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Suy ra mệnh đề đúng.

d) Ta có: $y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m > 0$.

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $A\left( {0;2{m^4} - m} \right),B\left( {\sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right),C\left( { - \sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right)$.

Ta có $A \in Oy$. Để $B,C \in Ox$ thì $2{m^4} - {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^3} - m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.$.

Do $m > 0$ nên ta được $m = 1$.

Vậy mệnh đề sai.

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$

Ta có $g\left( x \right)\, = \,f\left( {3 - x} \right)$$\Rightarrow$$g'\left( x \right)\, = \, - f'\left( {3 - x} \right)$.

Từ bảng biến thiên của hàm số$f\left( x \right)$ ta có

$g'\left( x \right)\, \ge 0$$\Leftrightarrow f'\left( {3 - x} \right) \le 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x \le - 1\\1 \le 3 - x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\ - 1 \le x \le 2\end{array} \right.$.

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại.

Đáp số: 1

Hàm số $y = f\left( {2 - {x^2}} \right)$ có $y' = - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right)$

$$\begin{array}{l}y' = - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.\\\end{array}$$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$. Khi đó $a = 0,b = 1$và $a + 2b = 2$

Đáp số: 2

Gọi $y = f\left( x \right) = - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1$.

Nhận xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty$.

Do đó hàm số $y = \left| { - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1} \right|$ đồng biến trên $\left( {1;\, + \infty } \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\ - 1 + m + 2{m^2} + m - 1 \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^2} + 3mx + 4{m^2} \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}$ thay vào $\left( 1 \right)$đều thỏa mãn vậy có 2 giá trị của $m$thỏa mãn.

Ta có: $g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{3x\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right)$

Dễ thấy $g'\left( x \right)$ không xác định tại $x = 0$ và khi qua $x = 0$ thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu nên $x = 0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.

Để $g\left( x \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị thì phương trình $f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = 0$ có thể có tối đa $5$ nghiệm bội lẻ khác $x = 0$.

Có: $f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = 0\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = - 9\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = - 3\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m - 9\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m - 3\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m + 3\end{array} \right.$

Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số $\left| {{x^3} + 3x} \right|$:

Để $g\left( x \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị thì: ${m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3$

Vậy có $5$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.

Ta có $v\left( t \right) = S'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 5$, $t > 0$.

$v'\left( t \right) = 2t - 6$, $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy vận tốc tăng trong khoảng thời gian $\left( {3; + \infty } \right)$.

Đáp số: $\left( {3; + \infty } \right)$.

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: $v - 6\,\left( {km{\rm{/}}h} \right)$.

Thời gian để cá vượt khoảng cách $300\,km$ là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}\,\,\left( {v > 6} \right)$.

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách $300\,km$ là $E\left( v \right) = c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}$.

$E'\left( v \right) = 600c{v^2}.\frac{{v - 9}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}}$, $E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 9$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng $\left( {6;9} \right)$thì năng lượng tiêu hao của cá giảm.

Đáp số: $\left( {6;9} \right)$.