Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

$PT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A

Ta có: $\sin 2x = 1$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$.

Chọn C

Thay lần lượt 4 giá trị của $x$ ở 4 phương án vào phương trình, ta nhận được đáp án $C$.

Chọn B

Ta có $\tan \left( {2x} \right) = \tan \,80^\circ$$\Leftrightarrow 2x = 80^\circ + k180^\circ$$\Leftrightarrow x = 40^\circ + k90^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn A

Phương trình $\cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $\Leftrightarrow \cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ$ $\Leftrightarrow x + 45^\circ = 60^\circ + k180^\circ$

$\Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ$ ( với $k \in \mathbb{Z}$).

Chọn A

Ta có $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$.

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $m \notin \left[ { - 1;1} \right]$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right..$

Chọn A

Ta có: $2\cos x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Ta có: $\sqrt 3 + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ đúng.

$\cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ đúng.

$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ sai. Đúng là $\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

$\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Chọn A

Ta có $\cot 2x = \cot 20^\circ \Leftrightarrow 2x = 20^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x = 10^\circ + k90^\circ ,k \in \mathbb{Z}$

Chọn D

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x \ne 0\\{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\frac{\pi }{3}\\x \ne k\pi \end{array} \right.$

Phương trình tương đương:

$\frac{{\cos 3x}}{{\sin 3x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin x\cos 3x - \cos x\sin 3x = 0$ $\Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}$

Kết hợp điều kiện ta được các nghiệm của phương trình: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

$\tan (2x-{15}^{^{\circ}})=1\Leftrightarrow x={30}^{^{\circ}}+k{90}^{^{\circ}}(k\in ℤ)$

$\begin{matrix}-{180}^{^{\circ}}<x<{90}^{^{\circ}}\Rightarrow -{180}^{^{\circ}}<{30}^{^{\circ}}+k{90}^{^{\circ}}<{90}^{^{\circ}}(k\in ℤ)\Rightarrow k=\{-2;-1;0\} \\ \Rightarrow [\begin{matrix}x=-{150}^{^{\circ}} \\ x=-{60}^{^{\circ}} \\ x={30}^{^{\circ}}\end{matrix}\end{matrix}$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3}(k \in \mathbb{Z})$.

$- \frac{\pi }{2} < \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3} < 0(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{1}{3} \Rightarrow k = \{ - 1;0\} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{ - \pi }}{9}}\\{x = \frac{{ - 4\pi }}{9}}\end{array}.} \right.$

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$.

Vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có:

$\sqrt{2}-2\sin ({45}^{^{\circ}}-2x)=0\Leftrightarrow \sin ({45}^{^{\circ}}-2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \sin ({45}^{^{\circ}}-2x)=\sin {45}^{^{\circ}}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}{45}^{^{\circ}}-2x={45}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}} \\ {45}^{^{\circ}}-2x={180}^{^{\circ}}-{45}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}}\end{matrix}(k\in ℤ)\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-k{180}^{^{\circ}} \\ x=-{45}^{^{\circ}}-k{180}^{^{\circ}}\end{matrix}(k\in ℤ).$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-k{180}^{^{\circ}};x=-{45}^{^{\circ}}-k{180}^{^{\circ}}(k\in ℤ)$

Trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ phương trình đã cho có hai nghiệm

$\sin x\sin \left( {x - \frac{\pi }{{18}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin x = 0}\\{\sin \left( {x - \frac{\pi }{{18}}} \right) = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = k\pi }\\{x - \frac{\pi }{{18}} = k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{{18}} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = k\pi ;x = \frac{\pi }{{18}} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.

$2\cos 2x - 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}}$

Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\cos x - 8{\cos ^2}x + 7\cos x = 1 \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 8{\cos ^2}x + 5\cos x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos x = 1}\\{\cos x = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos x = 1}\\{\cos x = \cos \frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.} \right.$

$\begin{array}{l}{\rm{ }}\cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{3} - x} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{2\pi }}{3} - x + k2\pi }\\{x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{0x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi (VL)}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{17\pi }}{{24}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.$

Lời giải

Ta có phương trình: $550 + 450 \cdot \cos \frac{\pi }{{50}}t = 250 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{\pi }{{50}}t \approx 2{,}3 + k2\pi }\\{\frac{\pi }{{50}}t \approx - 2{,}3 + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t \approx 36{,}61 + k100}\\{t \approx - 36{,}61 + k100}\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.} \right.$

Vậy trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, tại thời điểm $t \approx 36{,}61$ (phút) thì ta có thể thực hiện thí nghiệm đó.