Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn C

Ta có phương trình .

Chọn D

Phương trình $\sin x = m$ chỉ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| m \right| \le 1$.

Nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn C

$\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C

Ta có : $\tan x = \tan \varphi \Leftrightarrow x = \varphi + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn D

Áp dụng công thức giải phương trình lượng giác cơ bản, có: $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C

Ta có $\sin 2x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{8} + l\pi \end{array} \right.$ với $k$, $l$$\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $\left( {0;\,\pi } \right)$ ta có $2$ nghiệm thỏa mãn tương ứng $k = 1$ và $l = 0$.

Chọn A

$\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x\, = - \frac{1}{2}\,$ $\Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,$ $\Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,$$\left( {k \in \,\mathbb{Z}} \right)$.

$\Rightarrow \,\beta \, = \,\frac{{7\pi }}{{12}},\,\alpha \, = - \frac{\pi }{{12}}\,$ $\Rightarrow \,{\beta ^2} - {\alpha ^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{3}$.

Chọn D

Ta có $\tan x\, = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Để $x \in \left( {0\,;\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}$. Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}$.

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {0\,;\,\pi } \right)$.

Chọn A

Ta có $\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}$$\Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Với $x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)$, ta có $\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}$ suy ra $k \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Vậy trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)$, phương trình đã cho có hai nghiệm.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{{ - \pi }}{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi }\\{2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$.

$0 < x < \pi \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 < \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\\{0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{k = 1}\\{k = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{11\pi }}{{12}}}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}}}\end{array}} \right.} \right.$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$.

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}){\rm{. V\`i }}x \in (0;\pi ){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}} \right.{\rm{. }}$

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$ là $x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.

Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{\pi }{4}$

Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là một nghiệm

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).} \right.$

Vì $x \in [0;2\pi ] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{8};\frac{{11\pi }}{8}} \right\}$.

Với $x = \frac{{3\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{3\pi }}{8} \approx 0{,}92$ với $x = \frac{{11\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{11\pi }}{8} \approx - 0{,}92$.

Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( {\frac{{3\pi }}{8};\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{11\pi }}{8};\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right)$.

Ta có: $\cos (x+{30}^{^{\circ}})+1=0\Leftrightarrow \cos (x+{30}^{^{\circ}})=-1$

$\Leftrightarrow x+{30}^{^{\circ}}={180}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}}(k\in ℤ)\Leftrightarrow x={150}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}}(k\in ℤ).$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={150}^{^{\circ}}+k{360}^{^{\circ}}(k\in ℤ)$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin 3x \ne 0}\\{\sin (\pi - x) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne k\frac{\pi }{3}}\\{x \ne \pi - l\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$.

Ta có: $\cot 3x = \cot (\pi - x) \Leftrightarrow 3x = \pi - x + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4}(k \in \mathbb{Z})$.

Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm phương trình là:

$x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).$

$2\sin 3x = m - 1 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{m - 1}}{2}$.

Điều kiện có nghiệm: $- 1 \le \frac{{m - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3$.

Ta có: $\sin x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1$.

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $- 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0$.

Vậy $- 2 \le m \le 0$ thoả mãn đề bài.

Theo bài ra ta có: ${\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1{,}33$, thay vào $\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}$ ta được:

$\begin{matrix} & \frac{\text{sin}{50}^{∘}}{\text{sin}r}=\frac{1{,}33}{1}\text{(đk sin}r\ne 0\text{)} \\ & \Rightarrow \text{sin}r=\frac{\text{sin}{50}^{∘}}{1{,}33} \\ & \Leftrightarrow \text{sin}r\approx 0{,}57597\text{(thoa mãn đki)} \\ & \Leftrightarrow \text{sin}r\approx \text{sin}({35}^{∘}{10}^{\text{'}})\end{matrix}$

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}$Mà ${0^ \circ } < r < {90^ \circ }$ nên $r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}$.

Vậy góc khúc xạ $r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}$.

Với $g = 9{,}8\;m/{s^2}$, vận tốc ban đầu ${v_0} = 8\;m/s$, phương trình quỹ đạo của cầu:

$y = \frac{{ - g \cdot {x^2}}}{{2 \cdot v_0^2 \cdot {{\cos }^2}\alpha }} + \tan (\alpha ) \cdot x + {y_0}$

Khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là $6{,}68\;m$; nghĩa là $x = 6{,}68\;m$.

$\begin{matrix}\text{Ta có:} & \frac{-9{,}8\cdot {(6{,}68)}^{2}}{128\cdot {\cos }^{2}α}+\tan (α)\cdot (6{,}68)+0{,}7=0 \\ & \Leftrightarrow \frac{-9{,}8\cdot {(6{,}68)}^{2}}{128}(1+{\tan }^{2}α)+\tan (α)\cdot (6{,}68)+0{,}7=0 \\ & \Leftrightarrow [\begin{matrix}\tan α\approx 1{,}378 \\ \tan α\approx 0{,}576\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}α≃54,{04}^{^{\circ}} \\ α≃29,{97}^{^{\circ}}\end{matrix}\end{matrix}$

Vậy người chơi đã phát cầu một góc gần ${54^0}$ hoặc gần ${30}^{^{\circ}}$ so với mặt đất.