Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Ta có:

$P = {\log _{\sqrt 2 }}a - {\log _2}b - 1 = 2{\log _2}a - ({\log _2}b + {\log _2}2) = {\log _2}{a^2} - {\log _2}2b = {\log _2}\frac{{{a^2}}}{{2b}} = {\log _2}\frac{{8b}}{{2b}} = 2$

Ta có $r = 8\% = 0.08$. Do đó thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là:

$t = \frac{{\ln 2}}{r} = \frac{{\ln 2}}{{0.08}} \approx 8.7$ (năm).

Ta có: $S = {S_0}{.2^n}$.

Suy ra $671088640 = {40.2^n} \Leftrightarrow {2^n} = \frac{{671088640}}{{40}} = 16777216 \Leftrightarrow n = {\log _2}16777216 = 24$.

Để số lượng vi khuẩn là $671088640$con thì vi khuẩn đã có 24 lần nhân đôi.

Do đó, thời gian mà vi khuẩn đã thực hiện 24 lần nhân đôi đó là $20.24 = 480$phút (8 giờ).

Vậy, sau 8 giờ số lượng vi khuẩn là $671088640$con.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $P = {\log _2}8 + {\log _3}27 - {\log _5}{5^3} = {\log _2}{2^3} + {\log _3}{3^3} - {\log _5}{5^3} = 3 + 3 - 3 = 3$.

Ta có: $Q = \ln (2e) - \log 100 = \ln 2 + \ln e - \log {10^2} = \ln 2 + 1 - 2 = \ln 2 - 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Biểu thức $\log (x - 3)$ xác định khi và chỉ khi $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$.

b) Biểu thức ${\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right)$ xác định khi và chỉ khi $4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$.

c) Biểu thức $\ln (2x) - \lg (10 - x)$ xác định khi và chỉ khi

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x > 0}\\{10 - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 10} \right.$

d) Biểu thức ${\log _x}\frac{1}{{x - 2}}$ xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0,x \ne 1}\\{\frac{1}{{x - 2}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.$.

Cho các biểu thức: $P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}$ với $a,b$ là các số dương và $a$ khác 1 ;

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) Biểu thức $\log (x + 1)$ có nghĩa khi và chỉ khi $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$.

b) Biểu thức $\ln {(x - 1)^2}$ có nghĩa khi và chỉ khi ${(x - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.

c) Biểu thức ${\log _{x - 1}}x$ có nghĩa khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{x - 1 \ne 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.} \right.$.

d) Biểu thức ${\log ^2}\frac{1}{{x - {x^2}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{1}{{x - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: ${e^{\ln a - \ln b}} = {e^{\ln \frac{a}{b}}} = \frac{a}{b}.$ Đáp án a Đúng.

$\ln \,({a^2}{b^4}) = \ln \,({a^2}{b^2}{b^2}) = \ln \,{(ab)^2} + \ln \,{b^2} = 2\ln \,(ab) + 2\ln \,b.$ Đáp án c Đúng.

$a\ln \frac{1}{b} = a\ln \,({b^{ - 1}}) = - a\ln \,b = \ln \,({b^{ - a}}).$ Đáp án d Đúng.

$\ln \frac{a}{{\sqrt[3]{b}}} = \ln \,a - \ln \,\sqrt[3]{b} = \ln a - \ln \,{b^{\frac{1}{3}}} = \ln \,a - \frac{1}{3}\ln \,b.$ Đáp án b Sai.

$T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}$.

$= {\left( 9 \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( 7 \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {11} \right)^{{{\log }_{11}}25}} = {7^2} + 11 + 25 = 85$.

Vì sau 5h có 300 con vi khuẩn, nên suy ra $300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}} \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}$.

Để vi khuẩn tăng gấp đôi thì ta có phương trình:

$200 = 100.{{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} = 2 \Leftrightarrow {3^{\frac{1}{5}.t}} = 2$ $\Leftrightarrow t = 5{\log _3}2 \Leftrightarrow t \approx 3{,}15$

Vậy thời gian để số vi khuẩn tăng gấp đôi số vi khuẩn ban đầu là 3 giờ 9 phút.

Theo bài ta có $65 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}}$ $\Leftrightarrow 0{,}65 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}} \Leftrightarrow \frac{{3754}}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0{,}65 \Leftrightarrow A = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0{,}65}}$

Do mẫu gỗ còn $79\%$ lượng Cacbon 14 nên ta có: $79 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}} \Leftrightarrow 0{,}79 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}}$

$\Leftrightarrow \frac{t}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0{,}79 \Leftrightarrow t = A.{\log _{\frac{1}{2}}}0{,}79 = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0{,}65}}.{\log _{\frac{1}{2}}}0{,}79 \approx 2054$.

Ta có:${S_0} = 500$(con) ; $5$ giờ $=$$300$ phút.

Sau $5$giờ số vi khuẩn là:$S\left( {300} \right) = 500.\,\,{e^{300r}}$$\Leftrightarrow 1500 = 500.\,\,{e^{300r}}$ $\Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{{300}}$

Vậy khoảng thời gian $t$ kể từ lúc bắt đầu có $500$con vi khuẩn đến khi số lượng vi khuẩn đạt $121500$ con thỏa mãn $121500 = 500.{e^{r\,.\,{t_{}}}}$

$\Leftrightarrow t = \frac{{\ln 243}}{r} = \frac{{300\ln 243}}{{\ln 3}} = 1500$(phút)$= 25$(giờ).