Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Ta có $N = {\log _a}\sqrt {a\sqrt a } = {\log _a}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4}$.

Với $0 < a,a \ne 1$ và ${b_1},{b_2} > 0$ ta có ${\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$

$$\Rightarrow \ln \left( {9a} \right) - \ln \left( {7a} \right) = \ln \left( {\frac{{9a}}{{7a}}} \right) = \ln \frac{9}{7}$$

Theo giả thiết ta có $I\left( 1 \right) = A = 500$.

Ngày thứ 10 có 1000 ca nên $I\left( {10} \right) = A.{{\rm{e}}^{9{r_0}}} \Leftrightarrow 1000 = 500.{{\rm{e}}^{9{r_0}}} \Leftrightarrow {r_0} = \frac{{\ln 2}}{9}$.

Vậy ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh là $I\left( {20} \right) = 500.{{\rm{e}}^{\frac{{19\ln 2}}{9}}} \approx 2160$.

Gọi $A$ là lượng bèo ban đầu. Sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp $10$ lần nên sau $9$ giờ ta lượng bèo là $A{.10^9}.$

Gọi $t$ là số giờ để lượng bèo trong hồ phủ kín $\frac{1}{3}$ mặt hồ. Khi đó ta có:

$$A{.10^t} = \frac{1}{3} \times A{.10^9} \Rightarrow t = \log \frac{{{{10}^9}}}{3} = 9 - \log 3.$$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $A = {\left( {{a^3} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}} = {\left( {{a^{\frac{7}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}$

$= {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{7}{2}}} + {\left( {{b^{{{\log }_b}a}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {b^{\frac{7}{2}}} + {a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} .$

Ta có: $B = \log \left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d}} \right) - \log \frac{a}{d} = \log \left( {\frac{a}{d}:\frac{a}{d}} \right) = \log 1 = 0$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có ${\log _{360}}5 - 1 = {\log _{360}}5 - {\log _{360}}360 = {\log _{360}}\frac{5}{{360}}$

$= - {\log _{360}}72 = - {\log _{360}}\left( {{2^3}{{.3}^2}} \right) = - 3{\log _{360}}2 - 2{\log _{360}}3$.

Do đó ${\log _{360}}5 = 1 - 3{\log _{360}}2 - 2{\log _{360}}3$. Vậy $m = - 3$, $n = - 2$.

a) Sai

b) Sai

c)Đúng

d) Sai

Theo giả thiết $0 < a < 1 < b$ ta có ${\log _a}b < {\log _a}1 = 0 \Rightarrow P = \log _a^{2017}b < 0 \Rightarrow$Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Xét đáp án A: $a > b > 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^b} > {b^b}\\{b^a} > {b^b}\end{array} \right.$ nên không thể kết luận được, ta có thể chọn $a = 5$; $b = 2$ sẽ thấy mệnh đề sai.

Xét đáp án C: $a > b > 1$$\Rightarrow {a^{a - b}} > {b^{a - b}} > {b^{b - a}}$ nên C đúng.

Xét đáp án B: $a > b > 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b < {\log _a}a = 1\\{\log _b}a > {\log _b}b = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _a}b < {\log _b}a$ nên B đúng.

Xét đáp án D: ${\log _a}\frac{{a + b}}{2} < 1$$\Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} < a \Rightarrow \frac{b}{2} < \frac{a}{2}$ nên D đúng.

Với $a,b$ là các số thực dương khác 1, ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\ln a + \ln (8b) = 2\ln (a + 2b)}&{ \Leftrightarrow \ln (8ab) = \ln {{(a + 2b)}^2} \Leftrightarrow 8ab = {{(a + 2b)}^2}}\\{}&{ \Leftrightarrow {{(a - 2b)}^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2b.}\end{array}$

Khi đó: $P = {\log _b}(2a) + {\log _{\frac{a}{2}}}(2b) - \frac{1}{{{{\log }_8}b}} = {\log _b}(4b) + {\log _b}(2b) - {\log _b}8$

$= {\log _b}\frac{{8{b^2}}}{8} = {\log _b}{b^2} = 2.{\rm{ }}$

Ta có: ${x^2} + {y^2} = 14xy \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 16xy \Leftrightarrow {\log _2}{(x + y)^2} = {\log _2}(16xy)$

$\Leftrightarrow 2{\log _2}(x + y) = 4 + {\log _2}(xy) \Leftrightarrow {\log _2}(x + y) = 2 + \frac{{{{\log }_2}(xy)}}{2}.$

Ta có: $2{N_0} = {N_0}.{{\rm{e}}^{9k}} \Leftrightarrow k = \frac{{\ln 2}}{9}$

Để được $800$con ruồi, ta có: $800 = 100.{{\rm{e}}^{t.\frac{{\ln 2}}{9}}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}}.9 = 27$ ngày.

Số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ.

Sau 1 tuần số lượng bèo là $0{,}04 \times 3$ diện tích mặt hồ.

Sau 2 tuần số lượng bèo là $0{,}04 \times {3^2}$ diện tích mặt hồ.

Sau $n$ tuần số lượng bèo là $0{,}04 \times {3^n}$ diện tích mặt hồ.

Để bèo phủ kín mặt hồ thì: $0{,}04 \times {3^n} = 1 \Rightarrow {3^n} = 25 \Rightarrow n = {\log _3}25$ (tuần).

Số ngày tương ứng là $7n = 7{\log _3}25 \approx 20{,}51$ (ngày).

Vậy sau ít nhất 21 ngày thì bèo hoa dâu sẽ phủ kín mặt hồ.

Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là cường độ của trận động đất ở San Francisco và ở Nam Mỹ. Trận động đất ở San Francisco có cường độ là 8 độ Richter nên:

${M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 8 = \log A - \log {A_0}.$Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là $4A$, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:

${M_2} = \log (4A) - \log {A_0} = \log 4 + \left( {\log A - \log {A_0}} \right) = \log 4 + 8 \approx 8{,}602{\rm{ }}{\rm{. }}$(độ Richter)