Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Chọn B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là $8 - 2 = 6$.

Chọn C

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu. $R = 100 - 0 = 100$

Chọn C

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu. $R = 100 - 0 = 100$

Chọn C

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: ${x_1},{x_2} \in [5;7),{x_3}, \ldots ,{x_9} \in [7;9),,{x_9}, \ldots ,{x_{16}} \in [9;11){x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in [11;13),{x_{20}} \in [13;15)$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $[7;9)$

$n = 20,{n_m} = 7,C = 2,{u_m} = 7,{u_{m + 1}} = 9$

${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{1.20}}{4} - 2}}{7}(9 - 7) \approx 7{,}86 \approx 8$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $[9;11)$

$\begin{array}{l}n = 20,{n_m} = 7,C = 9,{u_m} = 9,{u_{m + 1}} = 11\\{Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 9}}{7}(11 - 9) \approx 10;71 \approx 11\end{array}$

Vậy khoảng tứ phân vị $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 11 - 8 = 3$

Cỡ mẫu $n = 30$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{30}}$ là số cân nặng của 30 quả đu đủ thu hoạch ở vường nhà Lan được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 800 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}}.50 = 812{,}5$

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_3} = 900 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {5 + 10 + 5} \right)}}{6}.50 = 915{,}625$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 103{,}125$

a) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $90 - 30 = 60.$

b) Đúng. Vì độ dài của các nhóm là bằng nhau và tần số lớn nhất của mẫu số liệu là 16 nên nhóm chứa mốt là nhóm $[50;60).$

c) Sai. Nhóm $[40;50)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất. Ta có: ${Q_1} = 40 + \frac{{10 - 2}}{{10}}.10 = 42.$

d) Sai. Nhóm $[60;70)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 30$ nên chứa tứ phân vị thứ ba. Ta có: ${Q_3} = 60 + \frac{{30 - 28}}{8}.10 = 62{,}5.$

Suy ra khoảng tứ phân vị của MSL ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 20{,}5.$

a) Đúng.Thành tích từ 23 giây đến dưới 25 giây có 15 học sinh.

b) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $25 - 15 = 10.$

c) Đúng. Nhóm $\left[ {19;21} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{39}}{4} = 9{,}75$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất. Ta có: ${Q_1} = 19 + \frac{{9{,}75 - 7}}{{10}}.2 = 19{,}55.$

Nhóm $\left[ {23;25} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 29{,}25$ nên chứa tứ phân vị thứ ba. Ta có: ${Q_3} = 23 + \frac{{29{,}25 - 24}}{{15}}.2 = 23{,}7.$

Suy ra khoảng tứ phân vị của MSL ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 4{,}15.$

d) Đúng. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm $\left[ {23;25} \right)$

Do đó: ${u_m} = 23;\;{n_m} = 15;\;{n_{m - 1}} = 7;\;{n_{m + 1}} = 0;\;{u_{m + 1}} = 25;\;{u_{m + 1}} - {u_m} = 25 - 23 = 2.$

Mốt của mẫu số liệu là ${M_0} = 23 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 0} \right)}}.2 \approx 23{,}7.$

a) Sai. Có 82 học sinh tham gia khảo sát.

b) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $10 - 6{,}5 = 3{,}5.$

c) Sai. Phần trăm số học sinh đạt ít nhất 8 điểm là: $\frac{{24 + 13 + 7 + 4}}{{82}}.100\% \approx 58{,}6\% .$

d) Sai. Nhóm $[7{,}5;8)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{82}}{4} = 20{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất. Ta có: ${Q_1} = 7{,}5 + \frac{{20{,}5 - 18}}{{16}}.0{,}5 = \frac{{485}}{{64}}.$

Nhóm $[8{,}5;9)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 61{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ ba. Ta có: ${Q_3} = 8{,}5 + \frac{{61{,}5 - 58}}{{13}}.0{,}5 = \frac{{449}}{{52}}.$

Suy ra khoảng tứ phân vị của MSL ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{879}}{{832}} \approx 1{,}06.$

Suy ra khoảng tứ phân vị của MSL ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{879}}{{832}} \approx 1{,}06.$

a) Đúng

b) Đúng

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm [6; 9).

Do đó: ${u_m} = 6;\;{n_m} = 57;\;{n_{m - 1}} = 24;\;{n_{m + 1}} = 42;\;{u_{m + 1}} = 9;\;{u_{m + 1}} - {u_m} = 9 - 6 = 3.$

Mốt của mẫu số liệu là ${M_0} = 6 + \frac{{57 - 24}}{{\left( {57 - 24} \right) + \left( {57 - 42} \right)}}.3 = 8{,}0625.$

c) Sai.

Nhóm $\left[ {6;\;9} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{160}}{4} = 40$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất. Ta có: ${Q_1} = 6 + \frac{{40 - 24}}{{57}}.3 = \frac{{130}}{{19}}.$

Nhóm $\left[ {9;\;12} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 120$ nên chứa tứ phân vị thứ ba. Ta có: ${Q_3} = 9 + \frac{{120 - 81}}{{42}}.3 = \frac{{165}}{{14}}.$

Suy ra khoảng tứ phân vị của MSL ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 4{,}94.$

d) Sai. 25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn với là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ $11{,}79{m^3}$ nước trở lên.

Cỡ mẫu $n = 150 \Rightarrow \frac{n}{4} = 37{,}5$ nên nhóm 2 có tần số tích luỹ lớn hơn 37,5

Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}\left( {300 - 250} \right) = \frac{{16175}}{{62}}$

$\frac{{3n}}{4} = 112{,}5$nên nhóm 3 có tần số tích luỹ lớn hơn 112,5

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là: ${Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - \left( {24 + 62} \right)}}{{34}}\left( {350 - 300} \right) = \frac{{11525}}{{34}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là : $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{11525}}{{34}} - \frac{{16175}}{{62}} = \frac{{41150}}{{527}} \approx 78{,}1$

Xét mẫu số liệu thống kê tuổi thọ trung bình của nam giới

Cỡ mẫu $n = 50 \Rightarrow \frac{n}{4} = 12{,}5$ nên nhóm 3 có tần số tích luỹ lớn hơn 12,5

Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 60 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 11}}{4}\left( {65 - 60} \right) = \frac{{495}}{8}$

$\frac{{3n}}{4} = 37{,}5$nên nhóm 6 có tần số tích luỹ lớn hơn 37,5

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là: ${Q_3} = 75 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - 36}}{{12}}\left( {80 - 75} \right) = \frac{{605}}{8}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là : $A = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{605}}{8} - \frac{{495}}{8} = \frac{{55}}{4} \approx 13{,}8$

Xét mẫu số liệu thống kê tuổi thọ trung bình của nữ giới

Cỡ mẫu $n = 50 \Rightarrow \frac{n}{4} = 12{,}5$ nên nhóm 4 có tần số tích luỹ lớn hơn 12,5

Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 65 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 12}}{3}\left( {70 - 65} \right) = \frac{{395}}{6}$

$\frac{{3n}}{4} = 37{,}5$nên nhóm 7 có tần số tích luỹ lớn hơn 37,5

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là: ${Q_3} = 80 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - 36}}{{13}}\left( {85 - 80} \right) = \frac{{2095}}{{26}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là : $B = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{2095}}{{26}} - \frac{{395}}{6} = \frac{{575}}{{39}} \approx 14{,}7$

$A - B = 13{,}8 - 14{,}7 = - 0{,}9$

Theo mẫu số liệu trên có ${a_1} = 10;{a_6} = 40$nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là : ${a_6} - {a_1} = 40 - 10 = 30$

Cỡ mẫu $n = 60 \Rightarrow \frac{n}{2} = 30$ nên nhóm 2 có tần số tích luỹ lớn hơn 30

Trung vị của mẫu số liệu trên là: ${M_e} = 15 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 15}}{{18}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{115}}{6}$

Hiệu giữa khoảng biến thiên và trung vị của mẫu số liệu trên là $30 - \frac{{115}}{6} = \frac{{65}}{6} \approx 10{,}8$

Theo mẫu số liệu trên có ${a_1} = 19;{a_5} = 21{,}5$nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là : ${a_5} - {a_1} = 14 - 4 = 10$

Cỡ mẫu $n = 100 \Rightarrow \frac{n}{4} = 25$ nên nhóm 2 có tần số tích luỹ lớn hơn 25

Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 19{,}5 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 13}}{{45}}\left( {20 - 19{,}5} \right) = \frac{{589}}{{30}}$

$\frac{{3n}}{4} = 75$nên nhóm 3 có tần số tích luỹ lớn hơn 75

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là: ${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 58}}{{24}}\left( {20{,}5 - 20} \right) = \frac{{977}}{{48}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là : $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{977}}{{48}} - \frac{{589}}{{30}} = \frac{{173}}{{240}} \approx 0{,}72$

Hiệu của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong mẫu số liệu trên là 9,28

Theo mẫu số liệu trên có ${a_1} = 20;{a_6} = 80$nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là : ${a_6} - {a_1} = 80 - 20 = 60$

Cỡ mẫu $n = 100 \Rightarrow \frac{n}{2} = 50$ nên nhóm 3 có tần số tích luỹ lớn hơn 50

Trung vị của mẫu số liệu trên là: ${M_e} = 40 + \frac{{\frac{{100}}{2} - 45}}{{20}}\left( {50 - 40} \right) = \frac{{85}}{2}$

Hiệu giữa khoảng biến thiên và trung vị của mẫu số liệu trên là $60 - \frac{{85}}{2} = \frac{{35}}{2} = 17{,}5$