Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Dựa vào đồ thị ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = - 1$ nên loại B và D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$ chọn C.

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \,\, \Rightarrow a < 0$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;d} \right)\,\, \Rightarrow \,d < 0$.

Dựa vào đồ thị ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$ nên loại $y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}$ và $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0;1} \right)$ chọn $y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}$.

Chọn B

Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ${x_0} = - \frac{2}{3}$

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ - 2x + 4}}{{x - 1}}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2$

Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ${x_0} = - \frac{3}{2}$

Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{ - x + 1}}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ${x_0} = - \frac{1}{2}$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục hoành nên $d < 0$.

Dựa vào hình dáng đồ thị ta có $a < 0$.

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{5}{2}$ là $3$.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f\left( x \right) = 2m + 1$ có ba nghiệm phân biệt khi

$- 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$.

Vì $m$nguyên nên $m = 0$.

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ ta có :

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = - 1 = \frac{a}{c}\,\, \Rightarrow \,\,a\, = - c\,\,\left( 1 \right)$

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1 = - \frac{d}{c}\,\, \Rightarrow \,\,d\, = - c\,\,\,\left( 2 \right)$

Đồ thị hàm số đi qua $A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)$ hay $A\left( {2;0} \right)$ $\Rightarrow \, - \frac{b}{a} = 2\,\,\, \Rightarrow \,b = - 2a = 2c\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\,$và $\left( 3 \right)$ ta có $T = \frac{{a - 2b + 3d}}{c} = \frac{{ - c - 4c - 3d}}{c} = - 8$

Ta có $g\left( t \right) = f'\left( t \right) = 12{t^2} - 2{t^3}$ với $t \in \left[ {0;6} \right]$.

$g'\left( t \right) = 24t - 6{t^2}$; $g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24t - 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.$.

Khi đó, $g\left( 0 \right) = 0$; $g\left( 4 \right) = 64$; $g\left( 6 \right) = 0$.

Vậy tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 4.

Chọn C

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số $y = x - \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,\,\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)\,\,\,y = m$ là:

$x - \frac{1}{{x + 1}}\,\, = m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\g\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 1 - m = 0\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Để $\left( C \right)$cắt $\left( d \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\,,\,B$thì $\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt khác $- 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( { - 1 - m} \right) > 0\\1 - \left( {1 - m} \right) - 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 5 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}$

Khi đó ta có $A\left( {{x_A};m} \right)\,\,,\,\,B\left( {{x_B};m} \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};m} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};m} \right)$

$OA$ vuông góc với $OB$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow \,{x_A}.{x_B} + {m^2} = 0$

$\Leftrightarrow - 1 - m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Độ dài cạnh huyền $BC = 120 - x$.

Khi đó độ dài cạnh $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {120 - x} \right)}^2} - {x^2}} = \sqrt {14400 - 240x}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}x\sqrt {14400 - 240x}$ $\left( {c{m^2}} \right)$

Xét hàm số $f(x) = x\sqrt {14400 - 240x}$ với $0 < x < 60$.

Ta có: $f'(x) = \sqrt {14400 - 240x} - \frac{{120x}}{{\sqrt {14400 - 240x} }} = \frac{{14400 - 360x}}{{\sqrt {14400 - 240x} }}$;

$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 40 \in \left( {0;60} \right)$$

Bảng biến thiên

Vậy tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất khi $AB = 40$$cm$.

a) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị $\left( C \right)$không đi qua gốc toạ độ.

b) Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$nghịch biến trên $\left( { - 1;1} \right)$, đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$có điểm cực đại là $A\left( { - 1;3} \right)$và điểm cực tiểu lả $B\left( {1; - 1} \right)$.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( { - 1} \right) = 3\\f'\left( 1 \right) = 0\\f'\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 1\\ - a + b - c + d = 3\\3a + 2b + c = 0\\3a - 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\\d = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$.

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị,hàm số $y = f\left( x \right)$ điểm cực tiểu lả $B\left( {1; - 1} \right)$nên $f'\left( 1 \right) = 0$. Do vậy, tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$tại điểm $A\left( {1; - 1} \right)$là $y = 0\left( {x - 1} \right) - 1 = - 1$ song song với trục hoành.

Cho hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:

a) Tiệm cận ngang của $\left( C \right)$là đường thẳng$y = 2$ nên mệnh đề đúng.

b) Đồ thị $\left( C \right)$ có 2 đường tiệm cận là $x = 1$ và $y = 2$ nên tâm đối xứng của $\left( C \right)$ là điểm $I\left( {1;2} \right)$ nên mệnh đề sai.

c) Giao điểm của $\left( C \right)$ với $Oy$ là điểm $A\left( {0; - 3} \right)$.

Ta có $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5$.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( {0; - 3} \right)$là $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = - 5x - 3$ nên mệnh đề đúng.

d) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là một điểm bất kỳ trên $\left( C \right)$, suy ra ${y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}$.

Đồ thị $\left( C \right)$ có 2 đường tiệm cận là ${\Delta _1}:x - 1 = 0$ và ${\Delta _2}:y - 2 = 0$.

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ tới ${\Delta _1}:x - 1 = 0$ là ${d_1} = \left| {{x_0} - 1} \right|$

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ tới ${\Delta _2}:y - 2 = 0$ là ${d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$

Suy ra ${d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5$ nên mệnh đề sai.

a) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục $Oy$tại điểm có tung độ bằng $2$.

b) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị $\left( C \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x - 1 = 0$.

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$có hai cực trị trong đó ${y_{CT}} > {y_{C{\rm{D}}}}$.

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy Hai đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục tạo thành tam giác có diện tích bằng $S = \frac{1}{2}.4.4 = 8$.

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ nên mệnh đề sai.

b) Phương trình $f\left( x \right) = m$có 3 nghiệm phân biệt $- 2 < m < 2$, mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$ nên mệnh đề đúng.

c) $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$

Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có 2 điểm cực trị là $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2; - 2} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.$

Phương trình của hàm số là $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2$ nên mệnh đề đúng.

d) $y = f\left( {2\sin x + 1} \right)$ . Đặt $t = 2\sin x + 1 \Rightarrow y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2$.

Ta có $- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 1 \le 2\sin x + 1 \le 3 \Rightarrow - 1 \le t \le 3$. Do đó $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)$ và $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)$.

$f'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t$ $\Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left( { - 1;3} \right)\\t = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\end{array} \right.$.

$f\left( 0 \right) = 2$; $f\left( 2 \right) = - 2$;$f\left( { - 1} \right) = - 2$;$f\left( 3 \right) = 2$.

Suy ra $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = 2$ và $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2$ nên $M + m = 0$.

Do đó mệnh đề sai.

Ta có$y' = 3{x^2} - 6x - m$.

Hàm số đồng biến trên khi $y' \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - m \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge m,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\;\quad \left( 1 \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\;$trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Ta có $f'\left( x \right) = 6x - 6\,,\;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 3$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \le - 3.$Kết hợp với giả thiết ta được $m \in \left( { - 2024; - 3} \right]$. Nên có $2021$ số nguyên thỏa mãn.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = + \infty$, vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1} \right) = 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\,$, $x - 2 > 0$ khi $x > 2$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ nên $a = 2$.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$

$y = \frac{{m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 2} \right)x + {m^2} + 3}}{{x + 1}} = mx + {m^2} + 2 + \frac{1}{{x + 1}},x \ne - 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0$ nên $\left( d \right):y = mx + {m^2} + 2$ $\Leftrightarrow \left( d \right):mx - y + {m^2} + 2 = 0$ là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số.

Ta có: $d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| {{m^2} + 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt {{m^2} + 1} + \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \ge 2$

Vậy $d\left( {O;d} \right)$ nhỏ nhất bằng $2$ khi $\sqrt {{m^2} + 1} = \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \Leftrightarrow m = 0$.

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$.

Dựa vào đồ thị ta có $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\,\,\left( { - 1 < a < 0} \right)\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = b\,\,\,\,\left( {2 < b < 3} \right)\end{array} \right.$

Phương trình $f\left( x \right) = a$ với $- 1 < a < 0$ có ba nghiệm thực phân biệt

Phương trình $f\left( x \right) = 1$ có ba nghiệm thực phân biệt

Phương trình $f\left( x \right) = b$ với $2 < b < 3$ có một nghiệm

Vậy phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ có $7$ nghiệm thực phân biệt.

Trả lời : $2024$

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1$$\Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 3mx$$\Leftrightarrow 3m = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x}$ (1) (Do $x = 0$không là nghiệm của phương trình).

Xét hàm $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x} = {x^2} - 3 + \frac{2}{x}$; $f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên.

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m < 0$. Mà $m$ nguyên và $m \in \left[ { - 2024;2024} \right]$ nên có $2024$ giá trị thỏa mãn.

Lời giải

Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật cần rào là $x\,\left( m \right),\,\,0 < x \le 16$.

Diện tích khu đất này là $242\,{m^2}$ nên chiều dài của khu đất là $\frac{{242}}{x}\,\,\left( m \right)$

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất hình chữ nhật là $2x + \frac{{242}}{x}\,\,\left( m \right)$

Xét hàm số $y = 2x + \frac{{242}}{x}\,\,,\,\,x \in \left( {0\,;\,16} \right]$

Ta có $y' = 2 - \frac{{242}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 242}}{{{x^2}}}$ và $y' = 0 \Rightarrow 2{x^2} - 242 = 0 \Rightarrow x = 11$ (do $x \in \left( {0\,;\,16} \right]$)

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{242}}{x}} \right) = + \infty \,\,;\,\,y\left( {11} \right) = 44;\,\,y\left( {16} \right) = \frac{{377}}{8}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là $44\,m$ khi chiều rộng khu đất là $11\,m$