Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, nên loại A, B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$ nên chọn D.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = + \infty$.

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 2$, nên loại B; D là hàm số bậc $3$nên loại D; đồ thị của C có tiệm cận đứng, không có tiệm cận xiên nên loại C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = - x - 1$ nên chọn#A.

Vì $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + 2x}} = - 1$.

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}} - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 4}}{{x + 2}} = - 1$

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - x - 1$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}$$= - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} = + \infty$.

$\Rightarrow x = - 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y = \frac{{2x + 4}}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \frac{6}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{{x^2} + 2x}} = 1$.

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{x + 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 5x - 7}}{{x + 2}} = - 5$

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 5$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3$ hoặc $x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ và ${y_{CD}} = - 5$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = 3$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 4\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có $2$ điểm cực tiểu.

Ta có $D = \mathbb{R}$, $y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}$; $y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Gọi $x$(cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện $0 < x < 30$. Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh $x$ (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng $\left( {60 - 2x} \right)$ (cm) và chiều cao bằng $x$(cm). Thể tích của chiếc hộp này là $V\left( x \right) = {\left( {60 - 2x} \right)^2}.\,x = 4{x^3} - 240{x^2} + 3600x\,\,\,$(cm3).

Ta có $V'\left( x \right) = 12{x^2} - 480x + 3600$.

$V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10$(thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = 30$(loại).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là $10$cm.

Ta có $\overline C '\left( x \right) = 2 - \frac{{7200}}{{{x^2}}}$.

$\overline C '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 60$.

Bảng biến thiên

Vậy số phần ăn $x = 60$thì chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất.

Đáp số: 1.

Ta có $y' = 3{x^2} - 4x + 1$. $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số đã cho:

Vậy đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là $A\left( {1; - 1} \right)$. Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến trục hoành bằng 1.

Đáp số: 0.

Đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x = 2$ suy ra $- \frac{b}{c} = 2 \Leftrightarrow b = - 2c$.

Đồ thị có đường tiệm cận ngang là $y = 1$ suy ra $\frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a = c$.

Khi đó $y = \frac{{cx + 2}}{{cx - 2c}}$. Đồ thị của hàm số đi qua điểm $\left( { - 2\;;0} \right)$ nên ta có $c = 1$. Từ đó ta được $a = 1;b = - 2;c = 1$ suy ra $S = a + b + c = 0$.

Đáp án: -3

Ta có: $y = ax + 2 + \frac{b}{{x + c}}$.

- Nên đồ thị của hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = ax + 2$, mà như hình vẽ đường tiệm cận xiên đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$ suy ra $1 = a.1 + 2 \Leftrightarrow a = - 1$.

- Đồ thị của hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ nên $1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 1$.

Khi đó hàm số đã cho có dạng $y = - x + 2 + \frac{b}{{x - 1}}$.

- Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ nên $- 0 + 2 + \frac{b}{{0 - 1}} = 3 \Leftrightarrow 2 - b = 3 \Leftrightarrow b = - 1$.

Vậy $P = a + b + c = - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3.$

Đáp án: 2,2

Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng, tức là 0,4 vạn đồng.

Suy ra chi phí phát hành cho $x$ cuốn là $0{,}4x$(vạn đồng).

Theo đề bài, ta có tổng chi phí xuất bản và phát hành cho $x$ cuốn tạp chí là:

$T\left( x \right) = C\left( x \right) + 0{,}4x = 0{,}0001{x^2} + 0{,}2x + 10000,$với $x > 0.$

Ta có $f\left( x \right) = M(x) = \frac{{T(x)}}{x} = 0{,}0001x + 0{,}2 + \frac{{10000}}{x}$.

Xét hàm số $f(x) = 0{,}0001x + 0{,}2 + \frac{{10000}}{x}$, với $0 < x \le 30000$.

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0{,}0001 - \frac{{10000}}{{{x^2}}} = \frac{{0{,}0001{x^2} - 10000}}{{{x^2}}};\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10000\,\,\left( {{\rm{do }}x > 0} \right).\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty .\end{array}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của $M(x)$ nhỏ nhất khi $x = 10000$.

Do đó, số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là $x = 10000$ (cuốn).

Vậy chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản 10000 cuốn là:$M(10000) = 2{,}2$ (vạn đồng).

Đáp án: 49,5

Theo bài ra ta có: phương trình của Parabol là $y = 60 - \frac{3}{{80}}{x^2}$.

Khoảng cách giữa khung Parabol và đường xuyên núi là:

$D = 60 - \frac{3}{{80}}{x^2} - \left( {\frac{{{x^3}}}{{25600}} - \frac{{3x}}{{16}} + 35} \right)$ với $x \in \left( { - 23{,}71;27{,}99} \right)$

Xét $D' = - \frac{3}{{40}}x - \frac{{3{x^2}}}{{25600}} + \frac{3}{{16}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{,}49$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, $MN$ là đoạn có độ dài lớn nhất khi $x = 2{,}49$$\Rightarrow MN = {D_{MN}} = 60 - \frac{3}{{80}}.2,{49^2} - \left( {\frac{{2,{{49}^3}}}{{25600}} - \frac{{3.2{,}49}}{{16}} + 35} \right) \approx 25{,}23$

Vì $N$và $Q$ là hai điểm đối xứng qua $Oy$$\Rightarrow {x_{PQ}} \approx - 2{,}49$

$$\Rightarrow PQ = {D_{PQ}} = 60 - \frac{3}{{80}}.2,{49^2} - \left( {\frac{{ - 2,{{49}^3}}}{{25600}} - \frac{{3. - 2{,}49}}{{16}} + 35} \right) \approx 24{,}3$$

Tổng độ dài $MN + PQ = 49{,}5$.

Đáp án: 32,6

Để nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi thời gian di chuyển về đến tại thấp nhất.

Vậy nên Quãng đường ông Vinh di chuyển về đến trại phải thấp nhất.

Quãng đường của Ông Vinh

Theo bài ra ta có: ông Vinh sẽ đi qua các quãng đường $XM + MN + NY.$

Ta có: $XM = NY = \sqrt {9 + {x^2}}$; $MN = 18 - 2x$

Thời gian Ông Vinh chạy đến Trại nghỉ là: $T(x) = 2\left( {\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \frac{{9 - x}}{{13}}} \right)$ với $x \in \left( {0;9} \right)$

Xét $T'(x) = 2\left( {\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \frac{{9 - x}}{{13}}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$ ( thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của $T(x)$ nhỏ nhất khi $x = \frac{5}{4}$.

$$\Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0{,}9} \right)} {\rm{ }}T(x) = T(\frac{5}{4}) = \frac{{162}}{{65}}$$

Vậy, nồng độ chất độc trong máu thấp nhất là $\mathop {\min }\limits_{(0, + \infty )} y = 50\log \left( {\frac{{162}}{{65}} + 2} \right) \approx 32{,}6$