Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Nhận xét: chỉ có điểm $\left( {5;3} \right)$ thỏa mãn hệ.

Chọn D

Nhận xét: chỉ có cặp số $\left( {8;4} \right)$ thỏa bất phương trình $3x + y \ge 9$.

Chọn C

Thế đáp án, chỉ có $x = 1;y = - \frac{1}{2}$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\Rightarrow$ chọn C

Chọn A

Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Thế $x = 6;\,y = 4$ vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: $22 \ge 6;\,\,6 \ge 1;\,\,8 \ge 2;\,\,4 \le 4$. Vậy ta chọn đáp án ${\rm{B}}$.

Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3.

Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3.

Chọn D

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):x - 2y = 0$

$\left( {{d_2}} \right):x + 3y = - 2$

$\left( {{d_3}} \right):y - x = 3$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,1} \right)$ là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm $\left( {0\,\,;\,\,1} \right)$ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Chọn D

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0$

$\left( {{d_2}} \right):x = 0$

$\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0$

Ta thấy $\left( {1\,\,;\,\,1} \right)$ là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm $\left( {1\,\,;\,\,1} \right)$ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Chọn A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x - 1 = 0$

$\left( {{d_2}} \right): - 3x + 5 = 0$

Ta thấy $\left( {1\,\,;\,\,0} \right)$ là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm $\left( {1\,\,;\,\,0} \right)$ không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.

Chọn C

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):3 - y = 0$

$\left( {{d_2}} \right):2x - 3y + 1 = 0$

Ta thấy $\left( {6\,\,;\,\,4} \right)$ là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm $\left( {6\,\,;\,\,4} \right)$ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Chọn A

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức $F = y - x$ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B,C$ hoặc $D$.

Ta có: $F\left( A \right) = 7 - 2 \times 5 = - 3;\,F\left( B \right) = - 2 \times 5 = - 10$.

$F\left( C \right) = - 2 \times 2 = - 4,F\left( D \right) = 2 - 2 \times 0 = 2$.

Vậy ${\rm{min }}F = - 10$ khi $x = 0,y = 5$.

Chọn A

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức $F = y - x$ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B$ hoặc $C$.

Chỉ $C\left( {4;1} \right)$ có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.

Vậy ${\rm{min }}F = - 3$ khi $x = 4,y = 1$.

Chọn B

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0$

$\left( {{d_2}} \right):x = 0$

$\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).

Miền nghiệm là hình tam giác $ABC$ (kể cả biên), với $A\left( {0\,\,;\,\,2} \right),$$B\left( {\frac{7}{4}\,\,;\,\,\frac{5}{6}} \right),$$C\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).$

Vậy ta có $a = 2 - 0 = 2,$$b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}.$

Chọn C

Gọi $x,\;y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế $\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)$.

Để pha chế $x$ lít nước cam cần $30x$g đường, $x$ lít nước và $x$g hương liệu.

Để pha chế $y$ lít nước táo cần $10y$g đường, $y$ lít nước và $4y$g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)$.

Số điểm đạt được khi pha $x$ lít nước cam và $y$ lít nước táo là $M\left( {x,y} \right) = 60x + 80y$. Bài toán trở thành tìm $x,\;y$ để $M\left( {x,\,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left( * \right)$ trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác $ABCDE$.

Tọa độ các điểm: $A\left( {4\,;\,5} \right)$, $B\left( {6\,;\,3} \right)$, $C\left( {7\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,0} \right)$, $E\left( {0\,;\,6} \right)$.

$M\left( {x,\,y} \right)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức $M\left( {x,\,y} \right)$ ta được:

$M\left( {4\,;\,5} \right) = 640$; $M\left( {6\,;\,3} \right) = 600$, $M\left( {7\,;\,0} \right) = 420$, $M\left( {0\,;\,0} \right) = 0$, $M\left( {0\,;\,6} \right) = 480$.

Vậy giá trị lớn nhất của $M\left( {x\,;\,y} \right)$ bằng $640$ khi $x = 4;\;y = 5$ $\Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b = - 1$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x > 5}\\{y < - 2}\\{x + y \ge 100}\end{array}} \right.$ và $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{3^5}x - \sqrt {20} y > 7}\\{x + y \le 100}\end{array}} \right.$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Hệ đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay $( - 2;8)$ vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2 + 2.8 \le 30}\\{8 > 5}\\{ - 2.( - 2) + 6.8 > 40}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{14 \le 30}\\{8 > 5}\\{52 > 40}\end{array}} \right.} \right.$ (đúng).

Vậy $( - 2;8)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Thay $( - 1; - 1)$ vào hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 7y > 4}\\{x < 5}\\{ - x - y \ge - 3}\end{array}} \right.$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 + 7( - 1) > 4}\\{ - 1 < 5}\\{ - ( - 1) - ( - 1) \ge - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 8 > 4}\\{ - 1 < 5{\rm{ (v\^o li')}}{\rm{. }}}\\{2 \ge - 3}\end{array}} \right.} \right.$ Vậy $( - 1; - 1)$ không là một nghiệm của hệ bất phương trình.

b) Thay $( - 2;5)$ vào hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 7y > 4}\\{x < 5}\\{ - x - y \ge - 3}\end{array}} \right.$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2 + 7.5 > 4}\\{ - 2 < 5}\\{ - ( - 2) - 5 \ge - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{33 > 4}\\{ - 2 < 5}\\{ - 3 \ge - 3}\end{array}} \right.} \right.$ (đúng). Vậy $( - 2;5)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

c) $(3; - 1)$ không là một nghiệm của hệ bất phương trình.

d) $( - 1;2)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Gọi $x,y$ lần lượt là số gói thực phẩm loại $X$, loại $Y$ mà bà Lan cần dùng trong một ngày. Ta có: $0 \le x \le 12{,}0 \le y \le 12$.

Số đơn vị canxi được cung cấp là: $20x + 20y$. Ta có: $20x + 20y \ge 240$ hay $x + y \ge 12$.

Số đơn vị sắt được cung cấp là: $20x + 10y$. Ta có: $20x + 10y \ge 160$ hay $2x + y \ge 16$.

Số đơn vị vitamin $B$ được cung cấp là: $10x + 20y$. Ta có: $10x + 20y \ge 140$ hay $x + 2y \ge 14$.

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y \ge 12}\\{2x + y \ge 16}\\{x + 2y \ge 14}\\{0 \le x \le 12}\\{0 \le y \le 12}\end{array}} \right.$

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $ABCDE$ với $A(12;12)$, $B(2;12),C(4;8),D(10;2),E(12;1)$

c) Số tiền bà Lan dùng để mua các gói thực phẩm $X,Y$ trong một ngày là: $T = 20x + 25y$ (nghìn đồng).

Tính giá trị của $T$ tại các cặp số $(x;y)$ là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 250 nghìn đồng tại $x = 10;y = 2$.

Vậy để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$ nhưng với chi phí thấp nhất thì mỗi ngày bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại $X$ và 2 gói thực phẩm loại $Y$.

d) Điểm $\left( {10;8} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$. Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - y - 6 = 0$ đi qua hai điểm $(0; - 6)$ và $(6;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x - 2 = 0$ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(2;2)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 4 = 0$ đi qua hai điểm $(0;4)$ và $(4;0)$.

Xét điểm $M(3;0)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $ABC$ bao gồm cả các cạnh $AB,BC$ và $AC$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Điểm $A = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(2;2)$.

Điểm $B = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(5; - 1)$

Điểm $C = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(2; - 4)$.

Ta thấy $F = 3y - 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A(2;2)$ thì $F = 2$.

Tại $B(5; - 1)$ thì $F = - 13$

Tại $C(2; - 4)$ thì $F = - 16$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là -16 khi $x = 2,y = - 4$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = x - 3y + 1$ trên miền xác định bởi hệ

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$

Vẽ đường thẳng ${d_1}:2x - y - 4 = 0$ đi qua hai điểm $(0; - 4)$ và $(2;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}: - x + y - 1 = 0$ đi qua hai điểm $(0;1)$ và $( - 1;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 2 = 0$ đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(2;0)$.

Xét điểm $M(2;2)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $ABC$ bao gồm cả các cạnh $AB,BC$ và $AC$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Điểm $A = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là

nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

Điểm $B = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điềm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(5;6)$.

Điểm $C = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(2;0)$.

Ta thấy $F = x - 3y + 1$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ thì $F = - 3$.

Tại $B(5;6)$ thì $F = - 12$

Tại $C(2;0)$ thì $F = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $F = x - 3y + 1$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$

khi $x = 2,y = 0$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x;y) = x - y$ với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$.

Vẽ đường thẳng ${d_1}:x = 0$ đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(0;1)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:y = 0$ đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(1;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 3 = 0$ đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(3;0)$.

Xét điểm $M(1;1)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $OAB$ bao gồm cả các cạnh $OA,OB$ và $AB$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $O,A,B$.

Điểm $O = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điểm $O$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.$. Vậy $O(0;0)$.

Điểm $A = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là

nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(0;3)$.

Điểm $B = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(3;0)$.

Ta thấy $F = x - y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $O,A,B$.

Tại $O(0;0)$ thì $F = 0$.

Tại $A(0;3)$ thì $F = - 3$

Tại $B(3;0)$ thì $F = 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x - y$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$ là -3

khi $x = 0,y = 3$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tứ giác $ABCD$ có $A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ kể cả 4 cạnh.

Nhận thấy hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $O(0;0)$ và lần lượt có các bờ là các đường thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$.

Phương trình đường thẳng $AB$:

$\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}$

Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $AB$ (tính cả bờ $AB$) và chứa điểm $O$ là $2x - 3y + 6 \ge 0$.

Phương trình đường thẳng $BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $BC$ (tính cả bờ $BC$) và chứa điểm $O$ là $x + 3y - 6 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $CD:x - 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $CD$ (tính cả bờ $CD$) và chứa điểm $O$ là $x - 3 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $DA$ (tính cả bờ $DA$ ) và chứa điểm $O$ là $x + 3y + 3 \ge 0$.

Hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)$

Điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi $(m;m - 1)$ là một nghiệm của hệ $(1)$, tức là

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn là $0 \le m \le \frac{9}{4}$.

Gọi $x,y(xe)$ lần lượt là số xe loại $A$ và $B$ cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là $F(x;y) = 5x + 4y$ (triệu đồng)

Ta có $x$ xe loại $A$ chở được $30x$ người và $0{,}8x$ tấn hàng; $y$ xe loại $B$ chở được $20y$ người và $1{,}6y$ tấn hàng.

Suy ra $x$ xe loại $A$ và $y$ xe loại $B$ chở được $30x + 20y$ người và $0{,}8x + 1{,}6y$ tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{30x + 20y \ge 180}\\{0{,}8x + 1{,}6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.$ (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ $(*)$ là tứ giác $ABCD$ (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C,D$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(0;9)$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(4;3)$.

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(10;0)$.

Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $D(10;9)$.

Ta thấy $F(x;y) = 5x + 4y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C,D$.

Tại $A(0;9)$ thì $F = 36$ (triệu đồng).

Tại $B(4;3)$ thì $F = 32$ (triệu đồng).

Tại $C(10;0)$ thì $F = 50$ (triệu đồng).

Tại $D(10;9)$ thì $F = 86$ (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại $A$ và 3 xe loại $B$.

Điều kiện: $0 \le x \le 2;0 \le y \le 1{,}5$

Khi đó số protein có được là $800x + 600y$ và số lipit có được là $200x + 400y$

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

$800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4$

Ta có hệ bất phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1{,}5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.$(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác $ABCDE$ kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua $x\;kg$ thịt bò và $y\;kg$ thịt lợn là $T = 200x + 100y$ (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $T(x;y) = 200x + 100y$ trên miền nghiệm của hệ $(*)$.

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C,D,E$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$.

Tọa độ điềm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.$. Vậy $C(2;0)$.

Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $D(2;1)$.

Tọa độ điểm $E$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.

Ta thấy $T(x;y) = 200x + 100y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C,D,E$.

Tại $A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$ thì $T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225$ (nghìn đồng).

Tại $B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$ thì $T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300$ (nghìn đồng).

Tại $C(2;0)$ thì $T = 200.2 + 100.0 = 400$ (nghìn đồng).

Tại $D(2;1)$ thì $T = 200.2 + 100.1 = 500$ (nghìn đồng).

Tại $E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$ thì $T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350$ (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi $x = \frac{3}{8}$ và $y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}$.