Đề kiểm tra Hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{1 + {x^2}}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$\forall x \in D$: $f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\left( { - x} \right)}^2}}} = \frac{{\cos x}}{{1 + {x^2}}} = f\left( x \right)$

Vậy hàm số $f$ là hàm chẵn.

Chọn D

Ta có $- 1 \le \sin x \le 1,\;\;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \quad - 4 \le y \le 4,\;\;\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy tập giá trị của hàm số $y = 4\sin x$ là $\left[ { - 4;4} \right]$.

Chọn D

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$\forall x \in D$: $f\left( { - x} \right) = \frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \tan x}}{{1 + {{\sin }^2}x}} = - f\left( x \right)$

Vậy hàm số $f$ là hàm lẻ.

Chọn A

Ta có: hàm số$y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Chọn A

Do $- 1 \le \sin 2x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \Leftrightarrow 1 \le 2\sin 2x + 3 \le 5$.

Chọn A

Hàm số $y = - \tan x$ xác định khi: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn C

Hàm số $y = - \sin x\cos 2x$ xác định trên $\mathbb{R}.$

Ta có $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f\left( { - x} \right) = - \left[ {\sin \left( { - x} \right)\cos \left( { - 2x} \right)} \right] = - \left( { - \sin x\cos 2x} \right) = - f\left( x \right)$

Vậy $y = - \sin x\cos 2x$ hàm số lẽ.

Chọn D

ĐTHS đi qua điểm $\left( {\pi ; - 1} \right)$ nên ta chọn đáp án D.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) b) Ta có:

$\begin{array}{l}f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0\\f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = - \sqrt 3 - 1\end{array}$

c) Ta có : $f(x) = - 2 \Leftrightarrow \tan 2x - 1 = - 2 \Leftrightarrow \tan 2x = - 1$

$\Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z}).$

Vì $x \in [0;\pi ]$ nên $x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{8};\frac{{7\pi }}{8}} \right\}$ (khi đó $k = 1;k = 2$).

d) Tập xác định hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Với mọi $x \in D$, ta có: $x \pm \frac{\pi }{2} \in D$ và

$f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) - 1 = \tan (2x + \pi ) - 1 = \tan 2x - 1 = f(x).$

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

a) Hàm số xác định $\Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{4} \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}(k \in \mathbb{Z})$.

Vậy tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \ge 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.

Vậy tập xác định của hàm số: $D = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Hàm số xác định $\Leftrightarrow 2 - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 2$ (đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$).

Vậy tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$.

d) Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos 2x \ne 0}\\{\sin 2x \ne 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x \ne l\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\\{x \ne l\frac{\pi }{2}}\end{array}(k,l \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};l\frac{\pi }{2}\mid \,k,l \in \mathbb{Z}} \right\}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

$y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Ta có: hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$- 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2$

Vậy giá trị của hàm số là $T = [2;4]$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Khi $t = 5$, ta có: $h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69{,}3(\;cm)$.

b) Khi $t = 20$, ta có: $h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75(\;cm)$.

c) d) Ta có: $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75$ hay $h(t) \le 75$.

Giá trị lớn nhất của $h(t)$ là 75, khi đó $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})$. Vì $t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\}$ (ứng với $k$ bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là $75\;cm$).

Ta có hàm số $y = \sin 3x$ có chu kỳ ${T_1} = \frac{{2\pi }}{3}$và hàm số $y = \cos 2x$ có chu kỳ ${T_2} = \pi$

$\Rightarrow$ chu kỳ $T$của hàm số $y = \sin 3x + 3\cos 2x$là bội chung nhỏ nhất của ${T_1} = \frac{{2\pi }}{3}$và ${T_2} = \pi$

$\Rightarrow$$T = 2\pi$.

Biểu thức $\frac{1}{x}$ có nghĩa khi $x \ne 0$.

Suy ra tập xác định của hàm số $g(x) = \frac{1}{x}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$.

Do đó, nếu $x$ thuộc tập xác định $D$ thì $- {\rm{ }}x$ cũng thuộc tập xác định $D$.

Ta có: $g( - x) = \frac{1}{{ - x}} = - \frac{1}{x} = - g(x),\forall x \in D$.

Vậy $g(x) = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

$y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3$

Ta có $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3$.

Do $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5$

Vậy giá trị của hàm số là $T = [1;5]$.

$y = f(x) = 2 + 2\cos x + {\cos ^2}x = {(\cos x + 1)^2} + 1$

Vì $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

Nên $0 \le 1 + \cos x \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 1 \le {(1 + \cos x)^2} + 1 \le 3,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 1 \le f(x) \le 3,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}{f_{{\rm{Min }}}}(x) = 1 \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{f_{{\rm{Max }}}}(x) = 3 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

${x_H} = 500 \cdot {\rm{cot}}\alpha$

Với $\frac{\pi }{6} < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}$ thì $\frac{{ - \sqrt 3 }}{3} < {\rm{cot}}\alpha < \sqrt 3$

Vậy ${x_H} \in \left\{ { - 288{,}7;866} \right\}$.

a) $h = 3 + 3.{\rm{sin}}\alpha$

b) Trong 1 phút đầu, guồng nước quay được 2 vòng. Ta có $0 \le \alpha \le 4\pi$

Khi ${\rm{h}} = 1{,}5$. Suy ra ${\rm{sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{2}$.

Khi đó, $\alpha = \frac{{7\pi }}{6};\alpha = \frac{{11\pi }}{6};\alpha = \frac{{19\pi }}{6}$ hoặc $\alpha = \frac{{23\pi }}{6}$.