Đề kiểm tra Hai đường thẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Vì $AD\;{\rm{//}}\;IF$ nên $AD$ không song song với $IJ$.

Chọn A

Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN{\rm{//}}AC.$.

Chọn C

Xét $\Delta SAB$, $IJ$ là dường trung bình $\Rightarrow IJ//AB$ mà $AB//CD$ $\Rightarrow IJ//CD$.

Xét $\Delta SCD$, $EF$ là dường trung bình $\Rightarrow EF//\,CD$ $\Rightarrow IJ//\,EF$.

Chọn A

Gọi$M$,$N$lần lượt là trung điểm của $DC$,$AC$.Vì$G$là trọng tâm tứ diện nên$G$là giao điểm của ba đoạn thẳng nối hai trung điểm của cặp cạnh đối của tứ diện như hình vẽ trên.

Xét$\left( {ABM} \right)$:$AG \cap BM = {G_1}$,$BG \cap AM = {G_2}$.Trong$\Delta ACD$có$AM$và$DN$là đường trung tuyến nên${G_2}$là trọng tâm của tam giác do đó $\frac{{{G_2}M}}{{{G_2}A}} = \frac{1}{2}$.Tương tự ta cũng có $\frac{{{G_1}M}}{{{G_1}B}} = \frac{1}{2}$suy ra${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB$.

Chọn B

Gọi$M$,$N$lần lượt là trung điểm của các cạnh$BD$và$BC$,ta có$MN{\rm{//}}CD$.

Vì$I,J$lần lượt là trọng tâm các tam giác$ABC$,$ABD$ nên ta có

$\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AJ}}{{AM}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow IJ{\rm{//}}MN$.

Từ và suy ra$IJ{\rm{//}}CD$.

Chọn A

Gọi$E$là trung điểm$AB$.

Vì$I$và$J$lần lượt là trọng tâm tam giác$ABC$và$ABD$nên:$\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EJ}}{{ED}} = \frac{1}{3}$.

Suyra:$IJ//CD$.

Chọn B

Ta có $EF$là đường trung bình trong tam giác $ABC,$suy ra $EF//AC{\rm{ }}\left( 1 \right)$.

$\left. \begin{array}{l}\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ G \right\}\\EF \subset \left( {EFG} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\\EF//AC\end{array} \right\} \Rightarrow$$\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = Gx//FE//AC$

Gọi $Gx \cap SA = \left\{ H \right\}$, suy ra $H$là trung điểm $SA$và $HG//AC{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Ta có $\overrightarrow {SG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} ,$suy ra $G$là trung điểm của $SC$và $GF//SB{\rm{ }}\left( 3 \right)$.

Ta có $HE$là đường trung bình trong tam giác $SAB,$suy ra $HE//SB{\rm{ }}\left( 4 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$suy ra thiết diện là hình bình hành $FGHE$.

Chọn B

Do $MN//AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$ nên $\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = PQ$ với $PQ//AB,{\rm{ }}Q \in AD$.

Tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Chọn C

Gọi $E = MN \cap CD$ $\Rightarrow$ $\left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = PE$.

Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ gọi $Q = PE \cap AC$. Khi đó thiết diện của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với hình chóp $ABCD$ là t giác $MNPQ$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MQ = \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\NP{\rm{//}}AB\\NP \subset \left( {MNP} \right),AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow MQ{\rm{//}}NP$.

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ICD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\\\left( {ICD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\end{array} \right.$ $\left( 1 \right)$.

Trong $\left( {SAC} \right)$, gọi $E = IC \cap SA \Rightarrow \left( {ICD} \right) \equiv \left( {ECD} \right)$$\Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = ED$ $\left( 2 \right)$.

Vì $AB{\rm{//}}CD$ nên $\left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$, $CD$ cắt $SB$ tại $F$$\Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EF$ $\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra mặt phẳng $\left( {ICD} \right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác $CDEF$.

Vì $EF\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên tứ giác $CDEF$ là hình thang.

Chọn D

Ta có: $\left( {MNE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN$, $\left( {MNE} \right) \cap \left( {ACD} \right) = NE$.

Vì hai mặt phẳng $\left( {MNE} \right)$và $\left( {BCD} \right)$lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $MN$và $BC$nên

$\left( {MNE} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Ex$(với $Ex$là đường thẳng qua $E$và song song với $BC$), $Ex$cắt $BD$tại $F$.

$\left( {MNE} \right) \cap \left( {BCD} \right) = EF$và $\left( {MNE} \right) \cap \left( {ADD} \right) = FM$. Và $MN = \frac{1}{2}BC$; $EF = \frac{3}{4}BC$.

Vậy thiết diện là hình thang $MNEF$với $F$là điểm trên cạnh $BD$mà $EF$song song với $BC$.

Chọn B

Xét hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$, có;

$$I \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$$

Và $BC\,{\rm{//}}\,AD$ ($ABCD$ là hình bình hành), $AD \subset \left( {SAD} \right),\,BC \subset \left( {IBC} \right)$

Nên $\left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IJ$$\left( {IJ\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC,\,J = SD \cap IJ} \right)$.

Do đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ là hình thang$BIJC$

($IJ\,{\rm{//}}\,BC$).

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có $AB$ và $CD$ cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nên $AB$ song song với $CD$ (hai cạnh đối của hình bình hành thì song song với nhau).

b) Hai đường thẳng $SA$ và $SC$ cắt nhau tại $S$.

c) Hai đường thẳng $SA$ và $BC$ không đồng phẳng, vì vậy $SA$ và $BC$ là hai đường thẳng chéo nhau.

d) $SC$ chéo nhau $AB$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ :

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{S \in (SAB) \cap (SCD)}\\{AB \subset (SAB);CD \subset (SCD).}\\{AB//CD}\end{array}} \right.$

Suy ra $Sx = (SAB) \cap (SCD)$, với $Sx$ là đường thẳng qua $S$ và $Sx//AB//CD$.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$:

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M \in SA,SA \subset (SAD)}\\{M \in (MBC)}\end{array} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD)} \right.$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M \in (MBC) \cap (SAD)}\\{BC \subset (MBC);AD \subset (SAD){\rm{. }}}\\{BC//AD}\end{array}} \right.$

Suy ra $My = (MBC) \cap (SAD),My$ là đường thẳng qua $M$ và $My//BC//AD$.

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ :

Ta có $:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M \in SA,SA \subset (SAC)}\\{M \in (MEF)}\end{array} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC)} \right.$.

Xét tam giác $ABC$, ta có $EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF//AC$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M \in (MEF) \cap (SAC)}\\{EF \subset (MEF);AC \subset (SAC){\rm{. }}}\\{EF//AC}\end{array}} \right.$

Suy ra $Mt = (MEF) \cap (SAC),Mt$ là đường thẳng qua $M$ và $Mt//EF//AC$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(GIJ)$ và $(BCD)$:

Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $IJ//CD$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{G \in (GIJ) \cap (BCD)}\\{IJ//CD}\\{IJ \subset (GIJ),CD \subset (BCD)}\end{array} \Rightarrow Gx = (GIJ) \cap (BCD)} \right.$, trong đó $Gx$ là đường thẳng qua $G$ và $Gx//IJ//CD$.

c) Trong mặt phẳng $(BCD)$, kẻ $Gx$ song song $CD$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $BD$ tại $N$.

Tính $2IJ + 3MN$

Gọi $E$ là trung điểm $CD$, theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}{\rm{ (v\`i }}GM//CE);\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}}{\rm{ (v\`i }}MN//CD{\rm{)}}{\rm{. }}$

Suy ra $\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}$ hay $MN = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$.

Vì $IJ$ là đường trung bình tam giác $ACD$ nên $IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

Do đó $2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18$.

d) $3IJ + 2MN = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17$

Vì $GH$ là đường trung bình của hai tam giác $ACE$ và $BDF$ nên $GH//CE$ và $GH//DF$.

Vì $BC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ tại $Q$ nên $PQ$ là giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$.

Ba mặt phẳng $(ABD),(BCD),(MNP)$ đôi một cắt nhau theo các giao tuyến $BD,PQ,MN$. Mà trong tam giác $ABD$, vì $MN$ là đường trung bình nên $MN//BD$. Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta có $PQ//BD$.

Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$.

Do đó, $IJ//AB$.

Mà $AB//CD$ nên $IJ//CD$ (vì cùng song song với đường thẳng $AB)$.

Vì $N$ là giao điểm của $ME$ và $BD$ nên $N$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(BCD)$.

Tương tự, $P$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng đó nên suy ra $NP$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(BCD)$.

Vì $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $EF//BC$. Hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(BCD)$ chứa hai đường thẳng song song là $EF$ và $BC$ nên giao tuyến $NP$ của hai mặt phẳng đó song song với $EF$ và $BC$.

Giả sử mặt phẳng $(ABFE)$ mà mặt nước, mặt phẳng $(EFCD)$ là mặt đáy của bể kính và $(ABCD)$ là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng $(ABFE)$, $(EFCD)$ và $(ABCD)$ là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến $EF$, $AB$ và $CD$. Vì $DC\parallel EF$ (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng $EF,AB$ và $CD$ đôi một song song. Vậy đường mép nước $AB$ song song với cạnh $CD$ của bể nước.