Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 8 CTST có đáp án (Đề 2)

a) Hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) K của nhà may thu được khi bán t chiếc áo là: $K=300\ 000t-30\ 000\ 000$ (đồng) (với $0\le t\le 200).$

Để nhà may thu hồi được vốn ban đầu thì $K=0,$ ta thay vào công thức $K=300\ 000t-30\ 000\ 000,$ ta được:

$0=300\ 000t-30\ 000\ 000,$ suy ra $t=100.$

Vậy cần phải bán ra được 100 chiếc áo mới thu hồi được vốn ban đầu.

b) Để nhà may lời được $6\ 000\ 000$ thì $K=6\ 000\ 000,$ thay vào công thức $K=300\ 000t-30\ 000\ 000,$ ta được:

$6\ 000\ 000=300\ 000t-30\ 000\ 000,$ suy ra $t=120.$

Vậy cần phải bán ra được 120 chiếc áo mới lời được 6 000 000 đồng.

a) Đồ thị hàm số $y=ax+b\ (a\ne 0)$ đi qua điểm $A(3;-1)$ nên ta có:

$-1=a\cdot 3+b,$ do đó $b=-3a-1.$

Đồ thị hàm số $y=ax+b\ (a\ne 0)$ đi qua điểm $B(2;-5)$ nên ta có:

$-5=a\cdot 2+b\ (*)$

Thay $b=-3a-1$ vào (*) ta được:

$-5=a\cdot 2-3a-1$

$a=4.$

Suy ra $b=-3\cdot 4-1=-13.$

Vậy $a=4$ và $b=-13.$

b) Do đồ thị hàm số $y=ax+b\ (a\ne 0)$ song song với đường thẳng $y=\frac{3}{2}x-24,$ nên ta có $a=\frac{3}{2}$ và $b\ne -24.$ Khi đó ta có hàm số $y=\frac{3}{2}x+b\ (b\ne -24).$

Hoành độ giao điểm của $({d}_{1}):y=x+1$ và $({d}_{2}):y=2x-3$ là nghiệm của phương trình: $x+1=2x-3$

$x=4.$

Thay $x=4.$ vào hàm số $y=x+1$ ta được $y=4+1=5.$

Do đó hai đường thẳng $({d}_{1})$ và $({d}_{2})$ cắt nhau tại điểm (4;5)

Do đường thẳng $y=\frac{3}{2}x+b\ (b\ne -24)$ đi qua điểm (4;5) nên ta có:

$5=\frac{3}{2}\cdot 4+b,$ do đó $b=-1$ (thỏa mãn).

Vậy $a=\frac{3}{2}$ và $b=-1.$

c) Do đường thẳng $y=ax+b\ (a\ne 0)$ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x+9$ nên ta có $a\cdot (-\frac{1}{4})=-1,$ suy ra $a=4$ (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số $y=4x+b.$

Đường thẳng $y=4x+b$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

$5=4\cdot 0+b,$ do đó $b=5.$

Vậy a = 4 và b = 5.

a) Xét $ΔABM$ có MD là đường phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}$ (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $ΔACM$ có ME là đường phân giác của $\widehat{AMC}$ nên $\frac{MA}{MC}=\frac{EA}{EC}$ (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do AM là đường trung tuyến của $ΔABC$ nên M là trung điểm của BC hay $MB=MC=\frac{1}{2}BC.\ (3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}.$

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{EA}{EA+EC},$ hay $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ suy ra $AD\cdot AC=AE\cdot AB.$

Xét $ΔABC$ có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ theo định lí Thalès đảo ta có $DE\text{//}BC.$

b) Xét $ΔABM$ có $DI\text{//}BM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}.$

Xét $ΔACM$ có $IE\text{//}MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{IE}{MC}=\frac{AI}{AM}.$

Do đó $\frac{DI}{BM}=\frac{IE}{MC}.$

Mà $MB=MC$ (chứng minh ở câu a) nên $DI=IE,$ hay I là trung điểm của DE

c) Ta có $MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 30=15\text{cm}.$

Theo câu a, ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},$ suy ra $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{MA}{MA+MB}=\frac{10}{10+15}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$

Do đó $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Xét $ΔABC$ có $DE\text{//}BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Suy ra $DE=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot 30=12\text{cm}.$

d) Để DE là đường trung bình của $ΔABC$ thì D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Xét $ΔABM$ có MD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MB (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được MA = MC

Do đó $MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Xét $ΔABC$ có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC nên $ΔABC$ vuông tại A

Vậy $ΔABC$ phải là tam giác vuông tại A thì DE là đường trung bình của tam giác đó.