Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có: $\lim \frac{1}{{2n + 5}}$$= \lim \,\frac{1}{n}.\,\frac{1}{{2 + \frac{5}{n}}} = 0$.

Chọn A

Ta có $\lim \frac{{1 + 19n}}{{18n + 19}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + 19}}{{18 + \frac{{19}}{n}}} = \frac{{19}}{{18}}$.

Chọn C

Ta có: $\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}$$= \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{1}{n} - 3} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}$$= \lim \frac{{\frac{1}{n} - 3}}{{2 + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = - \frac{3}{2}$.

ChọnA.

Ta có: $B = \lim \frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{\left( {3n - 1} \right)}^2}}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}^2}}} = \lim \frac{{\left( {4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}^2}}} = \frac{{4 + 0 + 0}}{{{{\left( {3 - 0} \right)}^2}}} = \frac{4}{9}$

Chọn A

Ta có: $\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right)$

$= \lim \left( {\frac{{\left( {{a^2} - 4a + 3} \right)n + 2 + 2{a^2} - 8a}}{{n + 2}}} \right)$$= \lim \left( {\frac{{{a^2} - 4a + 3 + \frac{{2 + 2{a^2} - 8a}}{n}}}{{1 + \frac{2}{n}}}} \right) = {a^2} - 4a + 3$.

Theo giả thiết:$\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 3 \vee a = 1$.

Vậy $S = \left\{ {1;\,3} \right\} \Rightarrow 1 + 3 = 4$.

Chọn A

Ta có $\lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \lim \frac{{a + \frac{{{a^2}}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = a$.

${a^2} - a + 1 = a$$\Rightarrow {a^2} - 2a + 1 = 0$$\Rightarrow a = 1$.

Chọn A

Ta có:$\lim \frac{{\left( {3n - 1} \right){{\left( {3 - n} \right)}^2}}}{{{{\left( {4n - 5} \right)}^3}}} = \lim \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {\frac{3}{n} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {4 - \frac{5}{n}} \right)}^3}}} = \frac{3}{{64}} = \frac{a}{b}$. Do đó: $a.b = 192$

Chọn A

Ta có:$\lim \frac{{\left( {3n - 1} \right){{\left( {3 - n} \right)}^2}}}{{{{\left( {4n - 5} \right)}^3}}} = \lim \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {\frac{3}{n} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {4 - \frac{5}{n}} \right)}^3}}} = \frac{3}{{64}} = \frac{a}{b}$. Do đó: $a.b = 192$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\lim \left( { - 2{n^3} - 5n + 9} \right) = \lim {n^3}\left( { - 2 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{9}{{{n^3}}}} \right) = - \infty$,

do $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\lim {n^3} = + \infty }\\{\lim \left( { - 2 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{9}{{{n^3}}}} \right) = - 2}\end{array}} \right.$

$\lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 3 \cdot {4^{n + 1}}}} = \lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 12 \cdot {4^n}}} = \lim \frac{{{4^n}\left( {1 + \frac{3}{{{4^n}}}} \right)}}{{{4^n}\left( {\frac{1}{{{4^n}}} + 12} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{3}{{{4^n}}}}}{{\frac{1}{{{4^n}}} + 12}} = \frac{1}{{12}}$

a) Tích $a.b = - \infty$

b) Hàm số $y = \sqrt {1 - x}$ có tập xác định là $D\left( { - \infty ;1} \right]$

c) Giá trị $\frac{1}{{12}}$ là số lớn hơn $0$

d) Phương trình lượng giác $\cos x = \frac{1}{{12}}$ có nghiệm

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\lim \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \lim \frac{{n\left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}} = \lim \frac{{ - 3{n^2} + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n}}} = - \infty$,

do $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\lim \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = - \infty }\\{\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right) = 2}\end{array}} \right.$

$\lim \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {5^{2n}}}} = \lim \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {{25}^n}}} = \lim \frac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1} \right]}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1}} = 0$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = 1$, công bội

$q = - \frac{1}{2}.$${\rm{ }} \Rightarrow S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + \ldots = \frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}{\rm{. }}$

b) Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = 1$, công bội

$q = \frac{1}{3}{\rm{. }}$

Vì vậy $T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{3^n}}} + \ldots = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}{\rm{. }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 3{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}}}{{7 + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}}} = \frac{1}{7}$.

Do đó suy ra $a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8$.

Ta có

$\begin{array}{l}M = \frac{1}{{{5^{10}}}} + ... + \frac{1}{{{5^3}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{5} \Leftrightarrow M + 1 = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{10}} + ... + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + \frac{1}{5} + 1\\ \Leftrightarrow \left( {M + 1} \right)\left( {\frac{1}{5} - 1} \right) = \left( {\frac{1}{5} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{10}} + ... + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3} + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5} + 1} \right]\\ \Leftrightarrow - \frac{4}{5}\left( {M + 1} \right) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}} - 1 \Leftrightarrow M + 1 = \frac{{{{5.5}^{10}} - 1}}{{{{4.5}^{10}}}} \Leftrightarrow M = \frac{{{5^{10}} - 1}}{{{{4.5}^{10}}}} = \frac{1}{4}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{10}}} \right]\end{array}$

Ta có $2{S_n} = \frac{2}{{1.2.3}} + \frac{2}{{2.3.4}} + \frac{2}{{3.4.5}} + ... + \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Trong đó

$\begin{array}{l}\frac{2}{{1.2.3}} = \frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}};\,\frac{2}{{2.3.4}} = \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}};\,\,\frac{2}{{3.4.5}} = \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}};\,\,\\\frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l}2{S_n} = \left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{n^2} + 3n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{n^2} + 3n}}{{2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}$

Vậy ${S_{30}} = \frac{{{{30}^2} + 3.30}}{{2.\left( {30 + 1} \right)\left( {30 + 2} \right)}} = \frac{{495}}{{992}}$

Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là $\frac{1}{2}$ nên diện tích ${S_1} = \frac{1}{4}$.

Cạnh hình vuông thứ hai là $\frac{1}{4}$ nên diện tích ${S_2} = \frac{1}{{16}}$,…

Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được ${S_1};\,{S_2};\,{S_3};...$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có ${S_1} = \frac{1}{4}$, $q = \frac{1}{4}$ nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = \frac{1}{4}\frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$ (đvdt).

Ta thấy:

Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường ${S_1} = 63\left( m \right)$.

Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là ${S_2} = 2{S_1}.\frac{1}{{10}} = 2.63.\frac{1}{{10}} = \frac{{63}}{5}$ (do độ cao lần hai bằng $\frac{1}{{10}}$ độ cao ban đầu).

Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là ${S_3} = {S_2}\frac{1}{{10}}$ (do độ cao lần ba bằng $\frac{1}{{10}}$ độ cao lần hai)... Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

$S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = {S_1} + {S_2} + {S_2}.\frac{1}{{10}} + {S_2}.{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2} + ... = {S_1} + {S_2}\frac{1}{{1 - \frac{1}{{10}}}}$$= 63 + \frac{{63}}{5}.\frac{{10}}{9} = 77\,\left( m \right)$ .

Vậy quãng đường di chuyển của bóng là $77m$.