Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Ta có $M = \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 3$ và $m = \mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0$.

Vậy $M + m = 3$.

Chọn A.

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ liên tục trên đoạn $\left[ {2;4} \right].$

Ta có $y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left( {2;\,4} \right)\\x = 3\,\,\,\, \in \left( {2;\,4} \right)\end{array} \right.$

Tính $y'\left( 2 \right) = 7;\,\,y'\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3};\,\,y'\left( 3 \right) = 6$.

Suy ra $m = 6$.

Sử dụng Casio

Nhập MODE 7 . $f\left( X \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$.

Start? $2$ End? $4$ Step? $\frac{1}{9}$. Kết luận.

Chọn A

$$f'(x) = 2x - 3$$

$$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$$

$$f(0) = 0;f(2) = - 2;f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{ - 9}}{4}$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{{ - 9}}{4}$ khi $x = \frac{3}{2}$

Chọn C

$$f\left( x \right) = - \frac{1}{{40}}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2}$$

$$f'\left( x \right) = - \frac{3}{{40}}{x^2} + \frac{3}{2}x$$

$$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{{40}}{x^2} + \frac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(l)\\x = 20(n)\end{array} \right.$$

Bảng biến thiên.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $25$ khi $x = 20$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y' = {2^x}\ln 2 - 4\ln 2$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow$${2^x}\ln 2 - 4\ln 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $4 - 8\ln 2$ tại $x = 2$.

Khi đó: $a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14.$

Chọn D

Tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{x}$. Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};e} \right]$

Xét $y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2,\,\,y\left( 1 \right) = 1,\,y\left( e \right) = e - 1$

Do đó $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};e} \right]} y = 1$ và $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};e} \right]} y = e - 1$

Suy ra $M - m = e - 1 - 1 = e - 2$.

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;\,2} \right].$.

Ta có:

+$y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

+ $y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm 2} \right) = 0.$

Vậy $\mathop {\max }\limits_D y = y\left( 0 \right) = 2;\,\mathop {\min }\limits_D y = y\left( { \pm 2} \right) = 0$. Vậy khẳng định C là sai.

Hàm số $y = f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x}$ luôn xác định trên khoảng $\left( {0;\; + \infty } \right).$

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1 \notin \left( {0;\, + \infty } \right)\end{array} \right.$.

BBT của hàm số $y = f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x}$ trên khoảng $\left( {0;\; + \infty } \right)$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = - 3$.

Ta có :

+ $y' = - 4{x^3} + 12x,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\x = \sqrt 3 \notin \left[ { - 1;1} \right]\\x = - \sqrt 3 \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.$;

+ $y\left( 0 \right) = m;y\left( { \pm 1} \right) = m + 5;$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { \pm 1} \right) = m + 5 = 5 \Leftrightarrow m = 0$.

$f'\left( x \right) = 4x - \frac{{500}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 500}}{{{x^2}}}$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 500 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Bảng biến thiên.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng$\left( {0; + \infty } \right)$là $150$ khi $x = 5$.

a) đúng.

b) sai.

c) sai.

d) đúng.

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$ (nghìn đồng).

Vì cứ tăng giá thêm $1$ (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm $100$ chiếc nên tăng $x$ (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3000 - 100x$ chiếc.

Lúc đầu bán với giá $30$ (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi $12$ (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12 + x$ (nghìn đồng).

Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

$f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1800x + 36000$.

$f'\left( x \right) = - 200x + 1800$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$ ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi$x = 9$

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là $9.000$ đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là$39.000$ đồng.

Vậy:

a) sai.

b) đúng.

c) sai.

d) đúng.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Trên $\mathbb{R},$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5.

b) Trên $\mathbb{R},$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Trên $\left[ { - 1;1} \right]$, hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5, giá trị nhỏ nhất bằng 2. Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ { - 1;1} \right]$là 7

d) Ta có:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 3 = f\left( 3 \right).$

b) Ta có: $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = - 2.$

c) Trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$, giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất là $- 2$. Do đó tập giá trị của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ { - 1;2} \right]$ là $\left[ { - 2;2} \right]$

d) Đặt $t = 3{\sin ^2}x - 1 \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right].$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( {3{{\sin }^2}x - 1} \right)$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( t \right)$trên $\left[ { - 1;2} \right]$.

Dựa vào đồ thị ta có: $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = 2$.

Đáp số: 3

Hàm số $y = {x^2} + \frac{2}{x}$ liên tục trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$

Đặt $y = f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x}$.

Ta có $y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}$, $y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2}{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 2} \right]$.

Khi đó $f\left( 1 \right) = 3,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4},f\left( 2 \right) = 5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 3$.

Đáp số: $0{,}37$

- Hàm số $g(x) = \frac{{\ln x}}{x}$ liên tục trên đoạn $[1;4]$

Ta có: ${g^\prime }(x) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$. Khi đó, trên khoảng $(1;4),{g^\prime }(x) = 0$ khi $x = e$.

$g(1) = 0,g(e) = \frac{1}{e},g(4) = \frac{{\ln 4}}{4} = \frac{{\ln 2}}{2}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = \frac{1}{e},\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = 0 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g(x) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$.

Đáp số: $1{,}125$

Hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x$ liên tục trên $\left[ {0;\pi } \right]$

$f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x$$= \sin x + 1 - 2{\sin ^2}x$

Đặt $\sin x = t$ . Vì $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ nên $t \in \left[ {0;1} \right]$

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h\left( t \right) = - 2{t^2} + t + 1$ trên $\left[ {0;1} \right]$

Hàm số $h\left( t \right) = - 2{t^2} + t + 1$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$

$h\left( t \right) = - 2{t^2} + t + 1$, $h'\left( t \right) = - 4t + 1$

$h'\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{1}{4}$

$h\left( 0 \right) = 1$, $h\left( 1 \right) = 0$, $h\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{9}{8}$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( t \right) = \frac{9}{8}$.

Đáp số: $2{,}4$.

Đặt $OA = x\,\,\left( m \right)$ với $x > 0$

Ta có: ${\rm{tan}}\widehat {BOC} = {\rm{tan}}\left( {\widehat {AOC} - \widehat {AOB}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOC} - \tan \widehat {AOB}}}{{1 + \tan \widehat {AOC}.\tan \widehat {AOB}}}$

$$= \frac{{\frac{{AC}}{{OA}} - \frac{{AB}}{{OA}}}}{{1 + \frac{{AC.AB}}{{O{A^2}}}}} = \frac{{\frac{{1{,}4}}{x}}}{{1 + \frac{{3{,}2.1{,}8}}{{{x^2}}}}} = \frac{{1{,}4x}}{{{x^2} + 5{,}76}}$$

Để góc quan sát $BOC$ lớn nhất thì $\tan \widehat {BOC}$ lớn nhất.

Xét hàm số $f(x) = \frac{{1{,}4x}}{{{x^2} + 5{,}76}}$ với $x > 0$.

Ta có hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và $f'(x) = \frac{{ - 1{,}4{x^2} + 1{,}4.5{,}76}}{{{{\left( {{x^2} + 5{,}76} \right)}^2}}}$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2{,}4$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ thì ta có $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 2{,}4$.

Vậy $AO = 2{,}4\,\,\,m$ thì góc quan sát $BOC$ lớn nhất.

Đáp số: 7200

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là $x$ và $y$, với $2x + y = 240$ $\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)$.

Suy ra $y = 240 - 2x$

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

$S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120$.

$S' = 240 - 4x$; $S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60$

Vậy ông nông dân có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là $7200$m$^{2}$.

Đáp số: $2{,}34$

Gọi bán kính đáy của hình trụ là $R,R > 0$. Ta có

$V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \frac{{10}}{{\pi {R^2}}}$.

Suy ra chi phí (đơn vị ngàn đồng) làm thùng

$\begin{array}{l}C = \pi {R^2}.400 + \pi {R^2}.200 + 2\pi Rh.300\\\,\,\,\,\, = 600\left( {\pi {R^2} + \frac{{10}}{R}} \right)\end{array}$.

$C' = 600\left( {2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}}} \right)$; $C' = 0 \Leftrightarrow 2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow {R^3} = \frac{5}{\pi } \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}$

Bảng biến thiên

Dẫn dến

$\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} C = 1800\sqrt[3]{{25\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}$.

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì chiều cao của hình trụ là $h = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{25\pi }}}} \approx 2{,}34\,m$.