Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

Ta có: ${u_n} = 4 + 3{n^2}$$\Rightarrow {u_6} = 4 + {3.6^2} = 112$.

Chọn D

Xét dãy số ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$

Có ${u_n} > {u_{n + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} > \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} \Leftrightarrow 2 > 1,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$

Vậy dãy số ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$ là dãy số giảm.

Chọn C

Xét dãy số ${u_n} = 2n - 3$

${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = 2n - 3$là dãy số tăng.

Chọn D

Dãy số ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\sqrt n$ là dãy số không bị chặn vì $\lim \left| {{u_n}} \right| = \lim \sqrt n = + \infty$.

Chọn A

Xét đáp án A, ta có $0 < {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}$$< 2,\,\,\forall n \in \mathbb{N}$.

Chọn D

Dãy $1{,}2{,}3,...,n,...$ là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.

Dãy $1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},...,\frac{1}{{2n - 1}},...$ là dãy bị chặn trên tại $1$ và bị chặn dưới tại $0$.

Do đó cả hai câu trên đều sai.

Chọn B

Giả sử ${u_n} = \frac{{37}}{{13}}$ $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$, ta có: $\frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 1}} = \frac{{37}}{{13}}$ $\Leftrightarrow 13{n^2} - 74n - 24 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n = - \frac{4}{{13}}\end{array} \right.$.

Do $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $n = 6$.

Vậy số $\frac{{37}}{{13}}$ là số hạng thứ 6 dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Chọn D

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0$nên ${u_{n + 1}} > {u_n}$vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$tăng.

Chọn C

Xét dãy số ${u_n} = 2n - 3$

${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = 2n - 3$là dãy số tăng.

Chọn B

Ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0$với $n \ge 1$.

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$là dãy giảm.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: ${u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8;$.

b) ${u_5} = {u_4} + 3 = 11$

b) Từ giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.$.

Cộng theo vế toàn bộ các đẵng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

${u_n} = - 1 + 3(n - 1) = 3n - 4.{\rm{ }}$

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: ${u_n} = 3n - 4$.

Xét $101 = 3n - 4 \Rightarrow n = 35$.

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Với $k$ là số nguyên dương, ta có:

$\frac{1}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{(2k + 1) - (2k - 1)}}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(2k - 1)}} - \frac{1}{{(2k + 1)}}} \right)$.

Khi đó: ${u_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{(2n - 1)}} - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right] = \frac{n}{{2n + 1}}$.

Vậy ${u_n} = \frac{n}{{2n + 1}}$, với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:

$\begin{array}{l}{u_{2021}} = \frac{{2021}}{{2.2021 + 1}} = \frac{{2021}}{{4043}}\\{u_{2022}} = \frac{{2022}}{{2.2022 + 1}} = \frac{{2022}}{{4045}}\\{u_{2023}} = \frac{{2023}}{{2.2023 + 1}} = \frac{{2023}}{{4047}}.\\{u_{2024}} = \frac{{2024}}{{2.2024 + 1}} = \frac{{2024}}{{4049}}.\end{array}$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có ${u_3} = \frac{2}{3}$

b) ${u_7} - {u_8} = - \frac{1}{{56}}$

c) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n(n + 1)}} > 0,\forall n \ge 1$.

Suy ra ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

d) Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Nhận xét: ${u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1$.

Suy ra ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Giả sử ${u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)$$\Leftrightarrow n = 250$.

Vậy $\frac{{167}}{{84}}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $({u_n})$.

Ta có: ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}};{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}$.

Suy ra ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Do ${u_n} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \ldots + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n}$, suy ra $1 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

${A_5} = 2{,}5 \cdot {(1{,}035)^5} = 2{,}9692$ (tỉ đồng).

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E.Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là $1 \cdot 2 = 2$.

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là $2 \cdot 2 = {2^2}$.

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là ${2^2} \cdot 2 = {2^3}$.

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là ${2^3} \cdot 2 = {2^4}$.

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng $3 \cdot 12$ lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

${2^{3 \cdot 12}} = {2^{36}} \approx 6{,}87 \cdot {10^{10}}(con).$

Sau 48 giờ (bằng $3 \cdot 48 = 144$ lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

${2^{144}} \approx 2{,}23 \cdot {10^{43}}(con).$