Đề kiểm tra Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Trong mỗi khoảng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này là:

$\bar x = \frac{{8 \times 2{,}5 + 16 \times 7{,}5 + 4 \times 12{,}5 + 2 \times 17{,}5 + 2 \times 22{,}5}}{{8 + 16 + 4 + 2 + 2}} = 8{,}4375$.

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 42 \Rightarrow \frac{n}{2} = 21$.

Mà $c{f_2} = 18 < 21 < c{f_3} = 30$ suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $21$.

Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$ có $r = 3\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 12$và nhóm $2$ là nhóm $\left[ {2\,;\,3} \right)$có $c{f_2} = 18$.

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M_e} = 3 + \left( {\frac{{21 - 18}}{{12}}} \right).1 = 3{,}25$.

Ta có bảng tần số ghép lớp, tần số tích lũy sau:

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 45 \Rightarrow \frac{n}{2} = 22{,}5$.

Mà $c{f_2} = 16 < 22{,}5 < c{f_3} = 25$ suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $22{,}5$.

Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {5\,;\,6} \right)$ có $r = 5\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 9\,$và nhóm $2$ là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$có $c{f_2} = 16$.

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là: ${M_e} = 5 + \left( {\frac{{22{,}5 - 16}}{9}} \right).1 \approx 5{,}7$.

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 42 \Rightarrow \frac{n}{4} = 10{,}5$.

Suy ra nhóm $2$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $10{,}5$.

Xét nhóm $2$ là nhóm $\left[ {2\,;\,3} \right)$ có $s = 2\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 10\,$và nhóm $1$ là nhóm $\left[ {1\,;\,2} \right)$có $c{f_1} = 8$.

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

${Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10{,}5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2{,}25$.

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 42 \Rightarrow \frac{n}{2} = 21$.

Mà $c{f_2} = 18 < 21 < c{f_3} = 30$ suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $21$.

Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$ có $r = 3\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 12$và nhóm $2$ là nhóm $\left[ {2\,;\,3} \right)$có $c{f_2} = 18$.

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M_e} = 3 + \left( {\frac{{21 - 18}}{{12}}} \right).1 = 3{,}25$.

Vậy tứ phân vị thứ $2$ là ${Q_2} = {M_e} = 3{,}25$.

Ta có số phần tử của mẫu là: $\frac{{3n}}{4} = 31{,}5$.

Suy ra nhóm $4$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $31{,}5$.

Xét nhóm $4$ là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$ có $t = 4\,;\,l = 1\,;\,{n_4} = 9\,$và nhóm $3$ là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$có $c{f_3} = 30$.

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu có:

${Q_3} = 4 + \left( {\frac{{31{,}5 - 30}}{9}} \right).1 = \frac{{25}}{6}$.

Vậy ${Q_1} = 2{,}25\,;\,{Q_2} = 3{,}1\,;\,{Q_3} = \frac{{25}}{6} \approx 4{,}166$ nên tứ phân vị luôn tăng.

Ta có bảng tần số ghép lớp, tần số tích lũy sau:

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 45 \Rightarrow \frac{n}{4} = 11{,}25$.

Suy ra nhóm $2$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $11{,}25$.

Xét nhóm $2$ là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$ có $s = 4\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 11\,$và nhóm $1$ là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$có $c{f_1} = 5$.

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

$${Q_1} = 4 + \left( {\frac{{11{,}25 - 5}}{{11}}} \right).1 \approx 4{,}6$$

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 45 \Rightarrow \frac{n}{2} = 22{,}5$.

Mà $c{f_2} = 16 < 22{,}5 < c{f_3} = 25$ suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $22{,}5$.

Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {5\,;\,6} \right)$ có $r = 5\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 9\,$và nhóm $2$ là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$có $c{f_2} = 16$.

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M_e} = 5 + \left( {\frac{{22{,}5 - 16}}{9}} \right).1 \approx 5{,}7$.

Suy ra ${Q_2} = {M_e} \approx 5{,}7$

Ta có số phần tử của mẫu là: $n = 45 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 33{,}75$.

Suy ra nhóm $5$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $33{,}75$.

Xét nhóm $5$ là nhóm $\left[ {7\,;\,8} \right)$ có $t = 7\,;\,l = 1\,;\,{n_4} = 8\,$và nhóm $4$ là nhóm $\left[ {6\,;\,7} \right)$có $c{f_4} = 31$.

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

${Q_3} = 7 + \left( {\frac{{33{,}75 - 31}}{8}} \right).1 \approx 7{,}3$.

Vì số lượng hoa quả bán được là $250 + x + 200 + y + 180 + z = 750$là cố định nên bình quân mỗi $kg$hoa quả có giá cao nhất khi số tiền thu được là cao nhất.

Gọi $P$ là tổng số tiền thu được.

Khi đó $P = \left( {250 - x} \right)(250 + x) + (200 - y)(200 + y) + (180 - z)(180 + z)$

$= {250^2} - {x^2} + {200^2} - {y^2} + {180^2} - {z^2}$=$134900 - {x^2} - {y^2} - {z^2}$.

Ta có bất đẳng thức: ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 4800$.

Do đó $P \le 130100$.

Vậy $P$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 120\\x = y = z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = y = z = 40$.

Dãy số liệu thống kê xếp thành dãy không giảm là $34\,,\,35\,,\,36\,,\,38\,,\,43\,,\,48\,,\,50\,,\,55\,,\,56$.

Số trung vị là ${M_e} = 43$.

Các số liệu đã được xếp theo thứ tự tăng dần.

Cỡ mẫu là $n = 2 + 3 + 7 + 8 + 10 + 4 + 2 = 36$.

Khi đó trung vị là ${M_e} = \frac{{{x_{18}} + {x_{19}}}}{2}$$= \frac{{7 + 8}}{2} = 7{,}5$.

Cỡ mẫu là $n = 3 + 10 + 12 + 15 + 20 = 60$.

Ta có: $\frac{n}{2} = 30$.

Mà $c{f_3} = 25 < 30 < c{f_4} = 40$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm $[25\ ;\ 30)$ có $r = 25;$$d = 5$, ${n_4} = 15$; và nhóm 3 có $c{f_3} = 25$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu là:

${M_e} = 25 + \frac{{30 - 25}}{{15}}.5$$\approx 26{,}67$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Mệnh đề sau đúng là

Số $50$ không nằm trong lớp $\left[ {54;{\rm{ }}56{\rm{ }}} \right).$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 61$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{61}}$ là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu này là ${x_{31}} \in [30;35)$.

Ta có: ${n_m} = 26;{C_1} = 4 + 12 = 16;{u_m} = 30;{u_{m + 1}} = 35$.

Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_2} = {M_e} = 30 + \frac{{\frac{{61}}{2} - 16}}{{26}}(35 - 30) = \frac{{1705}}{{52}} \approx 32{,}79(\;cm){\rm{. }}$

Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{30}}$ có trung vị $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in [25;30)$.

Ta có: ${n_i} = 12;{C_1} = 4;{x_i} = 25;{x_{i + 1}} = 30$.

Suy ra tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{61}}{4} - 4}}{{12}}(30 - 25) = \frac{{475}}{{16}} \approx 29{,}69(\;cm)$.

Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_{32}},{x_{33}}, \ldots ,{x_{61}}$ có trung vị $\frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2} \in [35;40)$.

Ta có: ${n_j} = 13;{C_3} = 4 + 12 + 26 = 42;{x_i} = 35;{x_{i + 1}} = 40$.

Suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3.61}}{4} - 42}}{{13}}(40 - 35) = \frac{{1895}}{{52}} \approx 36{,}44(\;cm)$.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} \approx 29{,}69;{Q_2} = 32{,}79;{Q_3} = 36{,}44.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

$6;8;8;10;11;11;12;13;14;14;14;15;18;18;21;22;23;24;25;25$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: ${Q_2} = \frac{{14 + 14}}{2} = 14.{\rm{ }}$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $6;8;8;10;11;11;12;13;14;14$;

${Q_1} = \frac{{11 + 11}}{2} = 9{,}05.{\rm{ }}$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $14;15;18;18;21;22;23;24;25;25$

${Q_3} = \frac{{21 + 22}}{2} = 21{,}5.{\rm{ }}$

c)

d) Vì số trận là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu sau:

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ lần lượt là số điểm ghi được ở mỗi trận đấu xếp theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1}; \ldots ;{x_4} \in [5{,}5;10{,}5);{x_5}; \ldots ;{x_{12}} \in [10{,}5;15{,}5);{x_{13}},{x_{14}} \in [15{,}5;20{,}5);{x_{15}}; \ldots ;{x_{20}} \in [20{,}5;25{,}5)$ nên trung vị của mẫu số liệu ${x_1}; \ldots ;{x_{20}}$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in [10{,}5;15{,}5)$.

Ta xác định được $n = 20,{n_m} = 8,C = 4,{u_m} = 10{,}5;{u_{m + 1}} = 15{,}5$.

Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: ${Q_2} = 10{,}5 + \frac{{\frac{{20}}{2} - 4}}{8}(15{,}5 - 10{,}5) = 14{,}25$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right)$.

Do ${x_5},{x_6} \in [10{,}5;15{,}5)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nhóm là: ${Q_1} = 10{,}5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 4}}{8}(15{,}5 - 10{,}5) = 11{,}125$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)$.

Do ${x_{15}},{x_{16}} \in [20{,}5;25{,}5)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm là: ${Q_3} = 20{,}5 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 14}}{6}(25{,}5 - 20{,}5) = 21{,}3$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Cân nặng trung bình của giống $A$ là:

$\frac{{1{,}05.8 + 1{,}15.28 + 1{,}25.32 + 1{,}35.17}}{{85}} = 1{,}22.{\rm{ }}$

b) Cân nặng trung bình của giống $B$ là:

$\frac{{1{,}05.13 + 1{,}15.14 + 1{,}25.24 + 1{,}35.14}}{{65}} = 1{,}21.{\rm{ }}$

Vậy theo số trung bình thì cân nặng của lợn con giống $A$ lớn hơn giống $B$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{85}}$ lần lượt là cân nặng của mỗi con lợn giống $A$ theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1}; \ldots ;{x_8} \in [1{,}0;1{,}1);{x_9};{x_{10}}; \ldots ;{x_{36}} \in [1{,}1;1{,}2);{x_{37}}; \ldots ;{x_{68}} \in [1{,}2;1{,}3);{x_{69}}; \ldots ;{x_{85}} \in [1{,}3;1{,}4)$ nên trung vị của mẫu số liệu lợn con giống $A$ là ${x_{43}} \in [1{,}2;1{,}3)$.

${Q_{2A}} = 1{,}2 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 36}}{{32}}(1{,}3 - 1{,}2) = 1{,}22.{\rm{ }}$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{65}}$ lần lượt là cân nặng của mỗi con lợn giống $B$ theo thứ tự không giảm. Do ${y_1}; \ldots ;{y_{13}} \in [1{,}0;1{,}1);{y_{14}}; \ldots ;{y_{27}} \in [1{,}1;1{,}2);{y_{28}}; \ldots ;{y_{51}} \in [1{,}2;1{,}3);{y_{52}}; \ldots ;{y_{65}} \in [1{,}3;1{,}4)$ nên trung vị của mẫu số liệu lợn con giống $B$ là ${y_{33}} \in [1{,}2;1{,}3)$..

${Q_{2A}} = 1{,}2 + \frac{{\frac{{65}}{2} - 27}}{{24}}(1{,}3 - 1{,}2) = 1{,}223.{\rm{ }}$

Vậy theo số trung vị thì cân nặng trung bình của lợn giống $A$ nhỏ hơn lợn giống $B$.

c) d) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu lợn con giống $A$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right) \in [1{,}1;1{,}2)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu lợn con giống $A$ là:

${Q_{1A}} = 1{,}1 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 8}}{{28}}(1{,}2 - 1{,}1) = 1{,}15.{\rm{ }}$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu lợn con giống $A$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right) \in [1{,}2;1{,}3)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lợn con giống $A$ là:

${Q_{3A}} = 1{,}2 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 36}}{{32}}(1{,}3 - 1{,}2) = 1{,}29.{\rm{ }}$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu lợn con giống $B$ là $\frac{1}{2}\left( {{y_{16}} + {y_{17}}} \right) \in [1{,}1;1{,}2)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu lợn con giống $B$ là:

${Q_{1B}} = 1{,}1 + \frac{{\frac{{65}}{4} - 13}}{{14}}(1{,}2 - 1{,}1) = 1{,}12.$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu lợn con giống $B$ là $\frac{1}{2}\left( {{y_{49}} + {y_{50}}} \right) \in [1{,}2;1{,}3)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lợn con giống $B$ là:

${Q_{3B}} = 1{,}2 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 27}}{{24}}(1{,}3 - 1{,}2) = 1{,}29.{\rm{ }}$

Nhóm chứa mốt là $[8;10)$. Mốt là ${M}_{^{\circ}}=8+\frac{(9-6)}{(9-6)+(9-3)}\cdot 2\approx 8{,}67$

Số cầu thủ chạy khoảng 8,67 km là nhiều nhất.

Các nhóm số liệu trong bài tập 3.23 không có độ dài bằng nhau nên người ta không định nghĩa mốt. Hiệu chỉnh mẫu số liệu trong bài 3.24 như trên ta thấy nhóm chứa mốt là nhóm $[3{,}5;6{,}5)$, do đó mốt là ${M_o} = 3{,}5 + \frac{{(18 - 5)}}{{(18 - 5) + (18 - 13)}} \cdot 3 \approx 5{,}67$

Số học sinh đăng kí khoảng 5,67 nguyện vọng là nhiều nhất.

Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm $[150;155)$.

Ta có, $j = 2,{a_2} = 150,{m_2} = 14$, ${m_1} = 7,{m_3} = 10,h = 5$. Do đó

${M_0} = 150 + \frac{{14 - 7}}{{(14 - 7) + (14 - 10)}} \cdot 5 \approx 153{,}18.$

Số học sinh có chiều cao khoảng $153{,}18\;cm$ là nhiều nhất.

Vì $n = 21$ nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó ${Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$,

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy ${x_{12}},{x_{13}}, \ldots ,{x_{21}}$ nên ${Q_3} = \frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}$. Ta có: $3 + 8 + 7 = 18$, do đó ${x_{16}},{x_{17}}$ thuộc nhóm $\left[ {10;15} \right)$nên tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {10;15} \right).$