Đề kiểm tra Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Lời giải

Chọn C

Ta có $c = 22{,}5$;

Vì lớp $\left[ {155;159} \right)$ có tần số là $5$ và tần suất là $12{,}5\%$ tức là chiếm $\frac{1}{8}$ mẫu số liệu nên $n = 5*8 = 40$.

Suy ra $\frac{{a \times 100}}{{40}} = 30\% \Rightarrow a = 12$.

Và $\frac{{b \times 100}}{{40}} = 22{,}5\% \Rightarrow b = 9$.

Vậy $a + 2b + 10c = 255$.

Áp dụng công thức tính mốt ${M_0} = u + \left( {\frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}} \right).g$

Với $i = 4,\;u = 7,\;g = 2,\;\;{n_4} = 14,\;{n_3} = 10,\;{n_5} = 7$. Ta có

${M_0} = 7 + \left( {\frac{{14 - 10}}{{2.14 - 10 - 7}}} \right).2 = 7{,}73$.

Tần số tích lũy của nhóm $3$ là $23$ nên ta có: $23 = 1 + x - 4 + {x^2} - 3x + 11$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.$

Do $x > 0$ nên $x = 5$.

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là $n = 42$. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là

$\bar x = \frac{{10 \times 43 + 7 \times 48 + 16 \times 53 + 4 \times 58 + 2 \times 63 + 3 \times 68}}{{42}} \approx 51{,}81(\;{\rm{kg}}).$

Chọn C

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{39}}$ là ${x_{30}} \in [6;8)$.

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q_3} = 6 + \frac{{\frac{{3.39}}{4} - (3 + 8 + 12)}}{{12}} \cdot (8 - 6) = \frac{{169}}{{24}} \approx 7{,}042$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Số phần tử của mẫu là $n = 40$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 48(\;kg)$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là: ${Q_2} = {M_e} = 50 + \left( {\frac{{20 - 12}}{{16}}} \right) \cdot 10 = 55(\;kg)$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right) \cdot 10 = 62{,}5(\;kg)$.

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: ${Q_1} = 48(\;kg);{Q_2} = 55(\;kg);{Q_3} = 62{,}5(\;kg)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 40$.

Gọi ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{40}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu: $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2} \in [50;60)$.

Ta có: ${n_m} = 16;{C_2} = 2 + 10 = 12;{u_m} = 50;{u_{n + 1}} = 60$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm cũng là trung vị của mẫu số liệu đó là:

${Q_2} = {M_e} = 50 + \frac{{\frac{{40}}{2} - 12}}{{16}}(60 - 50) = 55$

Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{20}}$ có trung vị $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2} \in [40;50)$.

Ta có: ${n_i} = 10;{C_1} = 2;{u_i} = 40;{u_{i + 1}} = 50$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 2}}{{10}}(50 - 40) = 48$

Xét nửa mẫu số liệu bên phải ${x_{21}},{x_{22}},{x_{23}}, \ldots ,{x_{40}}$ có trung vị $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2} \in [60;70)$.

Ta có: ${n_j} = 8;{C_3} = 2 + 10 + 16 = 28;{u_j} = 60;{u_{j + 1}} = 70$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 28}}{8}(70 - 60) = 62{,}5$

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

${Q_1} = 48,{Q_2} = 55,{Q_3} = 62{,}5.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta có thể sử dụng bảng tần số ghép nhóm sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 100$.

Gọi ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{100}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$ với ${x_{50}} \in [2{,}5;4{,}5),{x_{51}} \in [4{,}5;6{,}5)$.

Suy ra tứ phân vị thứ hai cũng là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q_2} = 4{,}5.{\rm{ }}$Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{50}}$ có trung vị $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2} \in [2{,}5;4{,}5)$.

Ta có: ${n_m} = 33;C = 17;{u_{m + 1}} = 4{,}5;{u_m} = 2{,}5$.

Vì vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 2{,}5 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{33}}(4{,}5 - 2{,}5) = \frac{{197}}{{66}} \approx 2{,}98$

Xét nửa mẫu số liệu bên phải ${x_{51}},{x_{52}}, \ldots ,{x_{100}}$ có trung vị

$\frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}{\rm{ v?i }}{x_{75}} \in [4{,}5;6{,}5),{x_{76}} \in [6{,}5;8{,}5)$nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm ${Q_3} = 6{,}5$

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} \approx 2{,}98;{Q_2} = 4{,}5;{Q_3} = 6{,}5.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta có thể sử dụng bảng tần số ghép nhóm sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 100$.

Gọi ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{100}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$ với ${x_{50}} \in [2{,}5;4{,}5),{x_{51}} \in [4{,}5;6{,}5)$.

Suy ra tứ phân vị thứ hai cũng là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q_2} = 4{,}5.{\rm{ }}$Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_{50}}$ có trung vị $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2} \in [2{,}5;4{,}5)$.

Ta có: ${n_m} = 33;C = 17;{u_{m + 1}} = 4{,}5;{u_m} = 2{,}5$.

Vì vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 2{,}5 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{33}}(4{,}5 - 2{,}5) = \frac{{197}}{{66}} \approx 2{,}98$

Xét nửa mẫu số liệu bên phải ${x_{51}},{x_{52}}, \ldots ,{x_{100}}$ có trung vị

$\frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}{\rm{ v?i }}{x_{75}} \in [4{,}5;6{,}5),{x_{76}} \in [6{,}5;8{,}5)$nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm ${Q_3} = 6{,}5$

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} \approx 2{,}98;{Q_2} = 4{,}5;{Q_3} = 6{,}5.{\rm{ }}$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là $n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{39}}$ là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu này là ${x_{20}} \in [4;6)$.

Ta có: ${n_m} = 12;{C_2} = 3 + 8 = 11;{u_m} = 4;{u_{m + 1}} = 6$.

Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q_2} = {M_e} = 4 + \frac{{\frac{{39}}{2} - 11}}{{12}}(6 - 4) = \frac{{65}}{{12}} \approx 5{,}42.{\rm{ }}$

Xét nửa mẫu số liệu bên trái ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{19}}$ có trung vị ${x_{10}} \in [2;4)$.

Ta có: ${n_i} = 8;{C_1} = 3;{x_i} = 2;{x_{i + 1}} = 4$. Suy ra tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 2 + \frac{{\frac{{39}}{4} - 3}}{8}(4 - 2) = \frac{{59}}{{16}} \approx 3{,}69$.

Xét nửa mẫu số liệu bên phải ${x_{21}},{x_{22}}, \ldots ,{x_{39}}$ có trung vị ${x_{30}} \in [6;8)$.

Ta có: ${n_j} = 12;{C_3} = 3 + 8 + 12 = 23;{x_j} = 6;{x_j} = 8$.

Suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = 6 + \frac{{\frac{{3.39}}{4} - 23}}{{12}}(8 - 6) = \frac{{169}}{{24}} \approx 7{,}04$.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} \approx 3{,}69;{Q_2} = 5{,}42;{Q_3} = 7{,}04$.

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là $n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$. Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là $\bar x = \frac{{8.2{,}5 + 16.7{,}5 + 4.12{,}5 + 2.17{,}5 + 2.22{,}5}}{{32}} = 8{,}4375$ (giờ)

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {10{,}5;20{,}5} \right).$

Ta có, $j = 2;{a_2} = 10{,}5;{m_2} = 10;{m_1} = 2;{m_3} = 6;h = 20{,}5 - 10{,}5 = 10$. Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là ${M_o} = 10{,}5 + \frac{{10 - 2}}{{(10 - 2) + (10 - 6)}} \cdot 10 = \frac{{103}}{6} \approx 17{,}17$

Cỡ mẫu: $n = 13 + 35 + 47 + 25 = 120$. Số công nhân có mức thưởng tết từ 15 đến dưới 20 triệu đồng là nhiều nhất nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {15;{\rm{ }}20} \right).$

Ta có, ${a_j} = 15;{m_j} = 47;{m_{j - 1}} = 35;{m_{j + 1}} = 25;h = 5$. Do đó, mốt của mẫu số liệu là ${M}_{^{\circ}}=15+\frac{(47-35)}{(47-35)+(47-25)}\cdot 5\approx 16{,}76$

Ý nghĩa. Số công nhân nhận được mức thưởng tết khoảng 16,76 triệu đồng là cao nhất.

Cỡ mẫu là $n = 200$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{200}}$ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{100}} + {x_{101}}}}{2}$. Do 2 giá trị ${x_{100}},{x_{101}}$ thuộc nhóm $[165;170)$ (vì $18 + 28 + 35 + 43 = 124)$ nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, $p = 4;{a_4} = 165;{m_4} = 43;$ ${m_1} + {m_2} + {m_3} = 18 + 28 + 35 = 81;{a_5} - {a_4} = 170 - 165 = 5$ và ta có

${M_e} = 165 + \frac{{\frac{{200}}{2} - 81}}{{43}} \cdot 5 \approx 167{,}21$