Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

$\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k$ nên $\overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)$.

Chọn A

Theo quy tắc hình hộp ta có$\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC}$

Chọn B

Ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Chọn B

Vì trung điểm của đoạn thẳng$AB$ là $\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{1 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)$.

Chọn B

Vì $\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Chọn D

Ta có $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).3 = 0$ nên $\overrightarrow u \, \bot \,\overrightarrow v \,\, \Rightarrow$ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ bằng $90^\circ$.

Chọn A

Vì $AB\, = \,\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = 5$.

Chọn B

Ta có $\left[ {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,3\,\\2\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\, - 1\,\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,0\,\\\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|} \right) = \left( { - 6\,;\,2\,;\, - 2} \right) = - 2\left( {3;\, - 1;\,1} \right)$.

Chọn $\vec d\left( {3; - 1;1} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Chọn A

Ta có: $2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b = \vec i + 2\vec j + \vec k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\vec b = \left( {3;6;3} \right)$

Do đó: $2\vec a + 3\vec b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)$

Chọn B

Gọi $D = \left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {5 - x; - 2 - y;1 - z} \right)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 1\\ - 2 - y = 3\\1 - z = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 5;4} \right)$.

Chọn B

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {19} \\AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {41} \\BC = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {42} \end{array}$

Vậy chu vi của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt {19} + \sqrt {41} + \sqrt {42}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left( {x;y;z} \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 2 + 0}}{3} = - \frac{1}{3}\\y = \frac{{ - 1 + 0 + 1}}{3} = 0\\z = \frac{{2 + 3 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.$.

Nên $G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)$

Khẳng định a.đúng.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right)$$\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {11}$

Khẳng định b. đúng.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 4} \right)$.

Nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\2&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6; - 13; - 5} \right)$.

Khẳng định c sai.

d) Vì $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a; - 1 - b;2} \right)$; $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - a; - b;3} \right)$; $\overrightarrow {MC} = \left( { - a;1 - b; - 2} \right)$.

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) + \left( { - 1 - b} \right).\left( { - b} \right) + 2.3$$= {a^2} + {b^2} + a + b + 4$$\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a} \right).\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right).\left( {1 - b} \right) + 3.\left( { - 2} \right)$$= {a^2} + {b^2} + 2a - b - 6$$\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \left( { - a} \right).\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right).\left( { - 1 - b} \right) + \left( { - 2} \right).2$$= {a^2} + {b^2} - a - 5$$S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}$

$= 4{a^2} + 4{b^2} + 3a + b - 3$ $= 4\left( {{a^2} + \frac{3}{4}a} \right) + 4\left( {{b^2} + \frac{1}{4}b} \right) - 3$

$= 4{\left( {a + \frac{3}{8}} \right)^2} + 4{\left( {b + \frac{1}{8}} \right)^2} - \frac{{29}}{8} \ge - \frac{{29}}{8}$.

$\Rightarrow {S_{\min }} = - \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \frac{3}{8} = 0\\b + \frac{1}{8} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{8}\\b = - \frac{1}{8}\end{array} \right.$$\Rightarrow T = a - b + c = - \frac{1}{4}$.

Khẳng định d sai.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3$

$\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2$

$\overrightarrow {BC} = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5$

a) Đúng

Xét $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0 = 0 \Rightarrow AB \bot AC$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

b) Sai

Chu vi tam giác$ABC$là $AB + AC + BC = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 5 .$

c) Sai

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\sqrt 3 .\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.$

d) Đúng

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm cạnh huyền $BC$.

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp $ABC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 2}}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2}\\z = \frac{{1 + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = \frac{1}{2}\end{array} \right..$

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right).$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 4;4} \right)$

$\Rightarrow \cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{4}{9} > 0 \Rightarrow A$ là góc nhọn.

b) Đúng

$D$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_D}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\\{z_D} = 2{z_B} - {z_A}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;2;1} \right)$

c) Sai

Ta có: $AB = 3;AC = 6$$\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DB}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} = - 2\left( {{x_B} - {x_D}} \right)\\{y_C} - {y_D} = - 2\left( {{y_B} - {y_D}} \right)\\{z_C} - {z_D} = - 2\left( {{z_B} - {z_D}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \Rightarrow AD = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}$.

d) Sai

Vì $M \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow a = 0 \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)$

Ta có: $A,\,B$ nằm cùng phía đối với $\left( {Oyz} \right)$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( {2;0; - 3} \right)$

Khi đó: $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$

Do đó: $MA + MB$ đạt GTNN khi $A',M,B$ thẳng hàng.

$\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;1;2} \right),\,\overrightarrow {A'M} = \left( { - 2;b;c + 3} \right)$

$A',\,B,\,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {A'B} ,\,\overrightarrow {A'M}$ cùng phương$\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{b}{1} = \frac{{c + 3}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{7}{3}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {0;\frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = - 2$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đúng

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)$

$ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\\ - 2 - y = - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right.$. Vậy $D\left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6$

c) Sai

Gọi $E\left( {0;m;0} \right) \in Oy$

Tam giác $BCE$ vuông tại $E$ thì $\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC} = 0.\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow {EB} = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC} = \left( {1; - m - 2;3} \right)$

Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).$

Vậy không có điểm $E$ thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và $MA = 2MB$

Nên $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} = - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} = - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} = - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} = - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} = - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} = - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} = - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)$.

Độ dài đoạn thẳng $OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Khi đó, ta có:

$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right)$, $C\left( {a;a\sqrt 2 ;0} \right)$, $D\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)$, $S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)$.

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$$\Rightarrow G\left( {\frac{a}{3};\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0} \right)$

Độ dài $SG$ là: $SG = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - a\sqrt 3 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}$

Khối đa diện tạo ra mái nhà được tách thành 3 khối là 2 khối chóp có đáy là hình chữ nhật và khối lăng trụ đứng tam giác nên

$V = {V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} + {V_{K.BCFE}}$

Mà ${V_{S.ADMN}} = {V_{K.BCFE}}$

Theo hình vẽ hệ trục có $N\left( {2;2;0} \right)$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}MN = 4\\AN = 2\\AB = 8\end{array} \right.$

Khi đó, $V = 2{V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} = 2.\frac{1}{3}.4.2.3 + \frac{1}{2}.4.3.8 = 64$(đvtt).

Đáp án: $\left( {BA',AC'} \right) = {60^0}$

Gọi $H$là trung điểm của $BC$$\Rightarrow BC \bot AH$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với $H\left( {0;0;0} \right)$.

Khi đó: $A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)$, $A'\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;a\sqrt 2 } \right)$, $B\left( {0; - \frac{a}{2};0} \right)$, $C'\left( {0;\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)$

$\Rightarrow \,\overrightarrow {AC'} = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)$, $\overrightarrow {BA'} = \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)$

$\cos \left( {BA',AC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA'} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}$

$= \frac{{\left| {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) + \frac{a}{2}.\frac{a}{2} + a\sqrt 2 .a\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}$$= \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow \left( {BA',AC'} \right) = {60^0}$.

Đáp án: $\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2$ .

Gọi tứ diện là $S.ABC$ và $M,\,G,\,G'$ lần lượt là trung điểm của $BC$, trọng tâm của $\Delta ABC$và vị trí đặt đèn.

$S.ABC$ là tứ diện đều $\Rightarrow \Delta ABC$ đều nên $G$là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

$\Rightarrow S,\,G',\,G$ thẳng hàng và $SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sao cho $M\left( {0;0;0} \right)$

Có: $AM = 5\sqrt 3$, $MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$,

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$, $SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}$ .

Khi đó: $S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)$, $A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)$, $B\left( {0; - 5;0} \right)$, $C\left( {0;5;0} \right)$

$G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $\Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)$

$\Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG$ $\Rightarrow \overrightarrow {SG'} = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.$ $\Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)$.

$\Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} = - \frac{1}{3}$.

Gọi $\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}}$ lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn

Có $\overrightarrow F = \overrightarrow {F{}_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} }$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)}$ $= 5\sqrt 2$.

Gọi $M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$$= \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]$

$= 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2$$= 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge - 1$

$\Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ ($O$ là trung điểm của $BC$). Ta có: $A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),$ $B\left( {150;\,0;\,0} \right),$ $C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),$ $C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),$$\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)$, $\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)$

Gọi $m,n$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.$ ta có $M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)$, $N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)$.

Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $A'C$ và $BC'$nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5$

Số tiền xây cầu là: $T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671$tỷ đồng.