Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 1

Gọi $A$ là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ”$\Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{3}$.

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ”$\Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{5}$

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right)P\left( Y \right) = \frac{2}{{15}}$.

Gọi A là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có:$P\left( A \right) = 1 - 0{,}51 = 0{,}49$.

Gọi B là biến cố: “Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có: $P\left( B \right) = 0{,}51$

Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai”

Ta có: $C = AB$, mà $A,B$ độc lập nên ta có:

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0{,}2499$.

Gọi $X$là biến cố: “ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.

Gọi $\bar X$là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu”.

Khi đó $P\left( {\bar X} \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( {\overline C } \right)$=$0{,}3.0{,}4.0{,}5 = 0{,}14$.

$\Rightarrow$$P\left( X \right) = 1 - P\left( {\bar X} \right)$=0,94.

Xác suất để chọn được câu trả lời đúng là $\frac{1}{4}$, xác suất để chọn được câu trả lời sai là $\frac{3}{4}$.

Để được 6 điểm thì thí sinh đó phải trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Xác suất để thí sinh đó được 6 điểm là $C_{50}^{20}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{30}} = 0,{25^{30}}.0,{75^{20}}.C_{50}^{20}$.

Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ $\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{7}{{16}}$.

Gọi B là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu xanh$\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{9}{{16}}$.

Hai biến cố A và B độc lập với nhau nên áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có:

$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{7}{{16}}.\frac{9}{{16}} = \frac{{63}}{{256}}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có xác suất các biến cố đối: $P(\bar A) = \frac{3}{4},P(\bar B) = \frac{2}{3}$.

Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập nên mỗi cặp biến cố lấy ra từ $A,B,\bar A,\bar B$ đều là cặp biến cố độc lập.

Do vậy

$\begin{array}{l}P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}},P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4},\\P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6},P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.\end{array}$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A:C_6^3 = 20$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $B:C_4^3 = 4$.

Xác suất của biến cố $A:P(A) = \frac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{6}$.

Xác suất của biến cố $B:P(B) = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Gọi $A$ biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu trong đó có 2 quả cầu trắng"

$P(A) = \frac{{C_5^2 \times C_6^2}}{{C_{11}^4}} = \frac{5}{{11}}{\rm{. }}$

b) Gọi $B$ biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu đen" $P(B) = \frac{{C_5^1 \times C_6^3 + C_6^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{{23}}{{66}}$.

c) Gọi $C$ biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu toàn cầu trắng": $P(C) = \frac{{C_5^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{1}{{66}}$.

d) $P\left( D \right) = \frac{{C_6^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{1}{{22}}$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Gọi $A$ là biến cố lần thứ nhất rút được con Át

Gọi $B$ là biến cố lần thứ hai rút được con Át.

Gọi $C$ là biến cố lần thứ ba rút được con $J$.

$\Rightarrow ABC$ là biến cố hai lần đầu rút được con Át và lần thứ ba rút được con $J$.

Các biến cố $A,B$ và $C$ đôi một độc lập với nhau.

Xác suất rút là bài thứ nhất là con Át là $P(A) = \frac{4}{{52}}$.

Xác suất rút là bài thứ hai là con Át là $P(B) = \frac{4}{{52}}$.

Xác suất rút là bài thứ ba là con $J$ là $P(C) = \frac{4}{{52}}$.

Vậy xác suất cần tính là: $P(ABC) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{4}{{52}} \cdot \frac{4}{{52}} \cdot \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{2197}}$.

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}$

Gọi $C$ là biến cố "Xúc xắc xuất hiện mặt là bội của 3": $P(C) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}{\rm{. }}$

Xác suất xuất hiện mặt ngửa và mặt là bội của 3 là:$P(AC) = P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.$

a) Gọi $A$ là biến cố: "An đạt điểm giỏi về môn Toán".

Gọi $B$ là biến cố: "Bình đạt điểm giỏi về môn Toán".

Dễ thấy $A,B$ là hai biến cố độc lập, khi đó $AB$ là biến cố: "Cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán".

Ta có: $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}92 \cdot 0{,}88 = 0{,}8096$.

b) Ta có $\bar A\bar B$ là biến cố: "Cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi môn Toán".

Vì hai biến cố $\bar A,\bar B$ độc lập nên: $P(\overline {AB} ) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0{,}08 \cdot 0{,}12 = 0{,}0096$.

a) Gọi $A$ là biến cố: "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và $B$ là biến cố: "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Khi đó $A,B,\bar A,\bar B$ là các biến cố độc lập đôi một với nhau.

Ta có: $P(\bar A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},P(\bar B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Xác suất biến cố $A\bar B$ là: $P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

b) Xác suất của biến cố $\bar A\bar B$ là: $P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Gọi ${A_i}(1 \le i \le 5,i \in \mathbb{N})$ là biến cố: "Cầu thủ thứ $i$ của đội $X$ sút luân lưu thành công".

Xác suất cần tìm là:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{{\bar A}_5}} \right)}&{ = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) \cdot P\left( {{A_4}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_5}} \right)}\\{}&{ = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}76 \cdot 0{,}72 \cdot 0{,}32 \approx 0{,}112.}\end{array}$

Gọi ${A_i}(1 \le i \le 3,i \in \mathbb{N})$ là biến cố: "Bóng đèn thứ $i$ sáng bình thường".

An không thể làm bài tập nếu cả ba bóng đèn bị hỏng, khi đó:

$P\left( {{{\bar A}_1}{{\bar A}_2}{{\bar A}_3}} \right) = P\left( {{{\bar A}_1}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_2}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_3}} \right) = 0{,}05 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}03 = \frac{3}{{50000}}.$

Gọi $P$ là xác suất để An có thể làm bài, ta có:

$P = 1 - P\left( {{{\bar A}_1}{{\bar A}_2}{{\bar A}_3}} \right) = 1 - \frac{3}{{50000}} = 0{,}99994.{\rm{ }}$

Gọi $A$ là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và $B$ : "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”. Dễ thấy $\bar A,\bar B$ là hai biến cố độc lập.

Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là $P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}18$.

Gọi $P$ là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:

$P = 1 - P(\bar A\bar B) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82.{\rm{ }}$