Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

Ta có $\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {a + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{2}{a} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $a = 4$. Khi đó $a - {a^2} = 4 - {4^2} = - 12$.

Chọn C

Ta có $1 + 2 + 3 + ... + k$ là tổng của cấp số cộng có ${u_1} = 1$, $d = 1$ nên $1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}$$= \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}$, $\forall k \in {\mathbb{N}^*}$.

$L = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)$$= \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)$$= 2$.

Chọn B

Ta có: $I = \lim \,\left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]$$= \lim \,\frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} }}$$= \lim \,\frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{3}{2}$

Chọn C

Ta có

$\lim \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{3}{3} = 1\,\,$vì $\lim \frac{1}{n} = 0$; $\lim \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{2}{2} = 1$ vì $\lim \frac{1}{n} = 0$

$\lim \frac{{4n + 1}}{{3n - 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n}}}{{3 - \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3}$ vì $\lim \frac{1}{n} = 0$; $\lim \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{1 - \frac{1}{n}}} = 1$ vì $\lim \frac{1}{n} = 0$.

Chọn D

Ta có: $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$$= \lim n\left[ {\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]$

$= \lim \left[ {n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]$.

Ta có: $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right)$$= \lim \frac{{3n}}{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} + 2n} \right)}}$$= \lim \frac{3}{{\left( {\sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}} + 2} \right)}} = \frac{3}{4}$.

Ta có: $\lim n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$$= \lim \frac{{ - {n^2}}}{{\left( {4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8{n^3} + n} \right)}^2}}}} \right)}}$

$= \lim \frac{{ - 1}}{{\left( {4 + 2\sqrt[3]{{8 + \frac{1}{{{n^2}}}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right)}} = - \frac{1}{{12}}$.

Vậy $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{{12}}$$= \frac{2}{3}$.

Chọn C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{4}$.

Chọn B

Ta có $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}$$= \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0$.

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 1}}{{ - x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4 + \frac{1}{x}}}{{ - 1 + \frac{1}{x}}}$$= - 4$.

Chọn D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 2}}{{2x - 4}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{2 - \frac{4}{x}}}$$= \frac{3}{2}$.

Chọn B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty$ do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0$và $x > 0$. Vậy đáp án A đúng.

Suy ra đáp án B sai.

Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án $A$.

Chọn C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2$.

Chọn C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{x} = + \infty$.

Vậy không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{an + 4}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{a + \frac{4}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = \frac{a}{5}.$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Để hàm $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$ cần có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}} = \frac{3}{{16}}$.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + 3b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + 3b} \right) = 2a + 3b + 4$$

$$f\left( 2 \right) = 2a + b - 6$$

Suy ra ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2a + b - 6 = \frac{3}{{16}}\\2a + 3b + 4 = \frac{3}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{179}}{{32}}\\b = - 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{{19}}{{32}}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = + \infty$ nên phương án a sai.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} - 2} \right) = - \infty$ nên phương án b sai.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 1}}} \right) = \frac{1}{2}$ nên đáp án c đúng.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 2} \right) = + \infty$ nên đáp án d sai.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {a + \frac{5}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}$.

Ta có: $\lim \left( {{v_n} - 2} \right) = \lim \left( {\frac{1}{{{n^3}}} + 2 - 2} \right) = \lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0$

Vậy $\lim {v_n} = 2$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ và $x = 0 \in D$.

$f\left( 0 \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) =$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1$.

Để hàm liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$$\Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2$.

Vậy $m = - 2$ thỏa mãn đề bài.

${u_n} = \frac{{{{15}^n}}}{{{2^n}\left( {{9^n} + {{25}^n}} \right)}} = \frac{{{3^n}{{.5}^n}}}{{{2^n}\left( {{3^{2n}} + {5^{2n}}} \right)}} \le \frac{{\frac{{{3^{2n}} + 5}}{2}}}{{{2^n}\left( {{3^{2n}} + {5^{2n}}} \right)}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$

Mà $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow$ đ.p.c.m

Ta có

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - (c{x^2} - ax - b)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {ax + b} - cx} \right)}} = - \frac{1}{2}\,\,\,\,(*)$$

Để xảy ra (*) thì điều kiện cần là

$$\left\{ \begin{array}{l} - ({c^2}{x^2} - ax - b) = k{(x - 1)^2}\,\,\,(k \ne 0)\\\sqrt {a.1 + b} - c \ne 0\\\frac{k}{{\sqrt {a.1 + b} - c}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 0\\\,a = - 2k,\,\,b = k\,\\\sqrt {a + b} - c \ne 0\,\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}c = \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} - \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2}\,\,\,(PTVN)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}c = - \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} + \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow k = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k = 2\\b = k = - 1\\c = \sqrt { - k} = 1\end{array} \right.$$

Thử lại: với $a = 2,b = - 1,\,c = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số $f(x) = 2x - \sin x$ liên tục với mọi $x \in \mathbb{R}$

Hàm số $g(x) = \sqrt {x - 1}$ liên tục trên khoảng $[1; + \infty )$

Suy ra: hàm số $y = f(x).g(x)$ liên tục trên khoảng $[1; + \infty )$

$g(x) \ne 0$ khi $x \ne 1$

Suy ra hàm số $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tục trên khoảng $(1; + \infty )$

$C(x) = 60000$ khi $x \in (0;2)$ nên hàm số $C(x)$ liên tục trên $(0;2)$

$C(x) = 100000$ khi $x \in (2;4)$ nên hàm số $C(x)$ liên tục trên $(2;4)$

$C(x) = 200000$ khi $x \in (4;24)$ nên hàm số $C(x)$ liên tục trên $\left( {4;24} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} C(x) = 60000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} C(x) = 100000\end{array}$

Vậy không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}$ hay hàm số $C(x)$ không liên tục tại $2$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} C(x) = 100000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} C(x) = 200000\end{array}$

Vậy không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4}$ hay hàm số $C(x)$ không liên tục tại $4$