Đề kiểm tra Bài tập cuối chương III lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Ta có $\sin {0^{\rm{o}}} + \cos {0^{\rm{o}}} = 1$.

Chọn A

$E = \sin {36^{\rm{o}}}\cos {6^{\rm{o}}}\sin \left( {{{90}^{\rm{o}}} + {{36}^{\rm{o}}}} \right)\cos \left( {{{90}^{\rm{o}}} - {6^{\rm{o}}}} \right) = \sin {36^{\rm{o}}}\cos {6^{\rm{o}}} - \cos {36^{\rm{o}}}\sin {6^{\rm{o}}} = \sin {30^{\rm{o}}} = \frac{1}{2}$

Chọn B

Ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} = - \frac{7}{{15}} \Rightarrow A \simeq {117^0}49'\,.$

Chọn C

Ta có $A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}$$= \frac{{{9^2} + {{12}^2}}}{2} - \frac{{{{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}$$\Rightarrow AM = \frac{{15}}{2}$.

Chọn C

$S = {\sin ^2}{2^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{4^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{6^{\rm{o}}} + ... + {\sin ^2}{84^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{86^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{88^{\rm{o}}}$

$$= \left( {{{\sin }^2}{2^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{88}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{4^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{86}^{\rm{o}}}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{44}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{46}^{\rm{o}}}} \right)$$

$= \left( {{{\sin }^2}{2^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{2^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{4^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{4^{\rm{o}}}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{44}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{{44}^{\rm{o}}}} \right) = 22$.

Chọn B

$\tan \alpha - \cot \alpha = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha .\cot \alpha = 9$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 11$.

Chọn B

${\tan ^2}x{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + {\sin ^2}x = {\tan ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) + {\sin ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( { - {{\cos }^2}x} \right) + {\sin ^2}x = 0$.

Chọn A

Ta có: $S = m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2}).$

Chọn B

Ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \frac{{\frac{{b + c}}{2}}}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{2\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}} \Leftrightarrow \sin B + \sin C = 2\sin A.$

Chọn A

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh $AB,BC;$

I là giao điểm của $AH$ và $CK$.

Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Ta có: $AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Do đó: $R = AI = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}a\sqrt 3 = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.$

Chọn A

Ta có: $p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15$. Mà ${5^2} + {12^2} = {13^2} \Rightarrow S = \frac{1}{2}.5.12 = 30.$

Mặt khác $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 2.$

Ta có $\widehat {CAD} = {63^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {117^0} \Rightarrow \widehat {ADB} = {180^0} - \left( {{{117}^0} + {{48}^0}} \right) = {15^0}$

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Tam giác BCD vuông tại C nên có: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}$

Vậy $CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin {{117}^0}.sin{{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}} = 61{,}4m$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $H = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}}}{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}.$

Vì $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ nên ${\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}$ và ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}$. Do đó: $H = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{\frac{{16}}{{25}} - \frac{9}{{25}}}} = \frac{{25}}{7}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6(\;cm)$. Áp dụng công thức Heron ta có:

${S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 4) \cdot (6 - 5)} = 6\left( {\;c{m^2}} \right).$

Áp dụng công thức tính diện tích $S = \frac{{abc}}{{4R}}$, suy ra $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{3.4 \cdot 5}}{{4.6}} = 2{,}5(\;cm)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Theo hệ quả định lí $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$= \frac{{{{85}^2} + {{54}^2} - 52,{1^2}}}{{2.85.54}} \approx 0{,}81 \Rightarrow A \approx {36^0};$

$\cos B=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{52,{1}^{2}+{54}^{2}-{85}^{2}}{2.52{,}1.54}\approx -0{,}28\Rightarrow \widehat{B}\approx {106}^{^{\circ}}$

$\widehat{C}={180}^{^{\circ}}-(\widehat{A}+\widehat{B})\approx {38}^{^{\circ}}\text{.}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{2 \cdot 3\sqrt 3 }}{{3 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. ${\cos ^2}A = 1 - {\sin ^2}A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos A = \frac{1}{2}}\\{\cos A = - \frac{1}{2}}\end{array};B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A} \right.$.

Với $\cos A = \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13 \Rightarrow BC = \sqrt {13}$.

Với $\cos A = - \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 37 \Rightarrow BC = \sqrt {37}$.

$A=({\cos }^{2}{15}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{15}^{^{\circ}})+({\cos }^{2}{25}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{25}^{^{\circ}})+({\cos }^{2}{35}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{35}^{^{\circ}})+{\cos }^{2}{45}^{^{\circ}}$

$=1+1+1+{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}=\frac{7}{2}$

Vì $\cot \alpha = - \sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\sin \alpha$ ta được:

$P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2 ( - \sqrt 2 )}}{{4 + 3\sqrt 2 ( - \sqrt 2 )}} = - 2$

$α+β={180}^{^{\circ}}$. Hai góc $\alpha$ và $\beta$ bù nhau nên $\sin \alpha = \sin \beta ;\cos \alpha = - \cos \beta$.

Do đó $P = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha = - {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = - 1$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta có: $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB\cdot BC\cdot \cos B}=\sqrt{{15}^{2}+{18}^{2}-2\cdot 15\cdot 18\cdot \cos {120}^{^{\circ}}}\approx 28{,}62(m).$

Vậy độ dài dây điện nối từ nhà ra cột điện dài 28,62 m.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB\cdot AC\cdot \cos A}=\sqrt{8,{5}^{2}+11,{5}^{2}-2\cdot 8{,}5\cdot 11{,}5\cdot \cos {141}^{^{\circ}}}\approx 18{,}88(m).$

Ta lại có: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}\approx \frac{18{,}88}{2\cdot \sin {141}^{^{\circ}}}\approx 15(m)$

Do đó, $d = 2R \approx 15 \cdot 2 = 30(\;m)$.

Vậy đường kính của hồ nước khoảng $30\;m$.

Trong tam giác $DAC$, ta có:

$\cos \widehat {ACD} = \frac{{DC}}{{AC}}$, suy ra $AC=\frac{DC}{\cos A}=\frac{18}{\cos {40}^{^{\circ}}}\approx 23{,}5(m)$

$\tan \widehat{ACD}=\tan {40}^{^{\circ}}=\frac{AD}{DC}$, suy ra $AD=DC\cdot \tan {40}^{^{\circ}}=18\cdot \tan {40}^{^{\circ}}\approx 15{,}10(m).$

Vậy chiều cao của toà nhà là: $AE = AD + DE = AD + CF \approx 15{,}10 + 5 = 20{,}1(\;m)$.

Trong tam giác $DBC$ ta có:

$\cos \widehat {BCD} = \frac{{DC}}{{BC}}$, suy ra $BC=\frac{DC}{\cos B}=\frac{18}{\cos {50}^{^{\circ}}}\approx 28(m)$

Lại có góc $\widehat{ACB}={50}^{^{\circ}}-{40}^{^{\circ}}={10}^{^{\circ}}$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta có:

$AB = \sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos ACB}$

$\approx \sqrt{23,{5}^{2}+{28}^{2}-2\cdot 23{,}5\cdot 28\cdot \cos {10}^{^{\circ}}}\approx 6{,}34(m).$

Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 6,34 m.