Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Ta có: ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}[2.1 + (100 - 1).2] = 10000$ ${u_n} - {u_{n - 1}} = (3x + 6) - [3(n - 1) + 6] = 3$

Suy ra dãy số (${u_n}$) là cấp số cộng với công sai d = 3

Chọn C

Ta có:

$$\begin{array}{l}{u_1} = 2.1 - 1 = 1\\{u_n} - {u_{n - 1}} = (2n - 1) - [2(n - {u_n}1) - 1] = 2\end{array}$$

Vậy (${u_n}$) là cấp số cộng với ${u_1} = 1$và công sai d=2

Suy ra ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}[2.1 + (100 - 1).2] = 10000$

Chọn B

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = a{.3^{n + 1}} - a{.3^n} = a{.3^n}\left( {3 - 1} \right) = 2a{.3^n}$.

Chọn D

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0$ nên ${u_{n + 1}} > {u_n}$ vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tăng.

Chọn B

Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$$= 3 + 7\left( {n - 1} \right)$$= 7n - 4$; ${u_n} > 2018$$\Leftrightarrow 7n - 4 > 2018$$\Leftrightarrow n > \frac{{2022}}{7}$

Vậy $n = 289$.

Chọn A

Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$. Theo đầu bài ta có hpt: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} - 3d = 0\\{u_1} - 2d = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.$.

Chọn D

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$.

Khi đó, ${S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right).16}}{2}$ $= 8\left( { - 42 + 45} \right) = 24$.

Chọn A

Ta có: ${u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18$$\left( 1 \right)$.

$4{S_n} = {S_{2n}}$$\Leftrightarrow 4\left[ {n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}} \right] = \left[ {2n{u_1} + \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)d}}{2}} \right]$$\Leftrightarrow 4{u_1} + 2nd - 2d = 2{u_1} + 2nd - d$$\Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra ${u_1} = 2$;$d = 4$.

Chọn A

Gọi $4$ số cần tìm là $a - 3r$, $a - r$, $a + r$, $a + 3r$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a - 3r + a - r + a + r + a + 3r = 28\\{\left( {a - 3r} \right)^2} + {\left( {a - r} \right)^2} + {\left( {a + r} \right)^2} + {\left( {a + 3r} \right)^2} = 276\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\{r^2} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\r = \pm 2\end{array} \right.$.

Bốn số cần tìm là $1$, $5$, $9$, $13$ có tích bằng $585$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) b) Gọi $d$ là công sai của CSC, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$

c) Ta có công sai $d = 3$ và số hạng tổng quát : ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2$.

d) Ta có các số hạng ${u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}$ lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai $d' = 3d$, nên ta có: $S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\frac{{{u_n}}}{n}$, trong đó $\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}$

Suy ra dãy số $\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}$, công bội $q = \frac{1}{3}$ .

$S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{10}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{3^{10}} - 1}}{{{3^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {u_1} = 1,d = 3$;${u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 12 = 13$

d) Ta có ${u_5},{u_7},...,{u_{2011}}$ lập thành CSC với công sai $d = 6$ và có 1003 số hạng nên $S = \frac{{1003}}{2}\left( {2{u_5} + 1002.6} \right) = 3028057$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) b) Ta có 6 số hạng đầu của dãy là:

${u_2} = 2{u_1} + 3 = 7,{u_3} = 17,{u_4} = 37,{u_5} = 77,{u_6} = 157$

c) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 2$ ta có: ${u_2} = 5.2 - 3 = 7$ (đúng)

Giả sử ${u_k} = {5.2^{k - 1}} - 3$, khi đó ta có:

${u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{{5.2}^{k - 1}} - 3} \right) + 3 = {5.2^k} - 3$

Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

d) Ta có ${u_n} < 1000 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} < \frac{{1003}}{5}$.

Mà ${2^9}$ là lũy thừa lớn nhất của 2 lớn nhất có 3 chữ số nên ta có:

${2^{n - 1}} = {2^9} \Rightarrow n = 10$.

Vậy ${u_{10}}$ là số hạng cần tìm.

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi 3 góc đó là: $a;{\rm{ }}a + d;{\rm{ }}a + 2d{\rm{ }}\left( {a,d{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$

Ta có: $a+(a+d)+(a+2d)={180}^{^{\circ}}\Leftrightarrow 3a+3d={180}^{^{\circ}}\Leftrightarrow a+d={60}^{^{\circ}}\text{(1)}$

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90$^{o}$. Suy ra $a+2d={90}^{^{\circ}}$ (2)

Từ (1) và (2), ta tính được $a={30}^{^{\circ}},d={30}^{^{\circ}}$

Vậy số đo 3 góc là ${30}^{^{\circ}};{60}^{^{\circ}};{90}^{^{\circ}}$

Vì 3 số $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p$ theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: $n = m + d,p = n + d$

Ta có: ${2^n} = {2^{m + d}} = {2^m} \cdot {2^d}$ và ${2^p} = {2^{n + d}} = {2^n}{.2^d}$

Vậy ${2^m},{2^n},{2^p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là ${2^d}$

Giả sử ${u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)$$\Leftrightarrow n = 250$.

Vậy $\frac{{167}}{{84}}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $({u_n})$.

Số ô trên các vòng là: ${u_1} = 6;{u_2} = 12;{u_3} = 18$

Ta thấy ${u_{n + 1}} = {u_n} + 6$

Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có công sai là 6

Do tần số của ba phím Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: $a,aq,a{q^2}$

Ta có: $a = 415$ và $a{q^2} = 466$. Nên $q = 1{,}06$

Suy ra: $aq = 440$

Vậy tần số của phím La là $440\;Hz$