Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Với $O$ là trung điểm của $AC$, ta có $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO}$.

Với $O$ là trung điểm của $BD$, ta có $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO}$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$ và $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$.

$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}$.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {CB}$.

Ta có: $\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}} = \left( {\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)$

$$\begin{array}{l} = \overrightarrow {{B_1}B} .\overrightarrow {D{D_1}} + {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} \\ = - {a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\ = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}$$

Áp dụng định lí: trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Khi đó, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2};\left( { - 2} \right) - 1;4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)$

$A,\,\,B,\,\,C$thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy $x + y = 5.$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Vậy $3\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3;3} \right)$.

Có $\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;1; - 1} \right)$.

Độ dài của vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$ là: $\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 3;\,5} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {6;\,0;\, - 4} \right)$.

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ là: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 2 \cdot 6 + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + 5 \cdot \left( { - 4} \right) = - 8$.

Vì$A'$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AA'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 2.\left( { - 1} \right) - 2 = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 2.2 - 1 = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.$.

Vậy $A'\left( { - 4;3;1} \right)$.

Vì $N$ là trung điểm của $MP$ nên

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_N} = \frac{{{x_M} + {x_P}}}{2}}\\{{y_N} = \frac{{{y_M} + {y_P}}}{2}}\\{{z_N} = \frac{{{z_M} + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4 = \frac{{0 + {x_P}}}{2}}\\{ - 2 = \frac{{0 + {y_P}}}{2}}\\{6 = \frac{{2 + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_P} = 8\,\,}\\{{y_P} = - 4}\\{{z_P} = 10}\end{array}} \right.$

Vậy $P\left( {8\,;\, - 4\,;\,10} \right)$.

Gọi $Q\left( {x;y;z} \right)$ là tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo.

$\overrightarrow {MN} = \left( {200;100;10} \right)$

$\overrightarrow {NQ} = \left( {x - 800;y - 500;z - 30} \right)$

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M \to N$ gấp 2 lần thời gian bay từ $N \to Q$ nên $MN = 2NQ$

Suy ra $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}200 = 2\left( {x - 800} \right)\\100 = 2\left( {y - 500} \right)\\10 = 2\left( {z - 30} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 900\\y = 550\\z = 35\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {900;550;35} \right)$

Tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là $\left( {900;550;35} \right)$

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'M}$

c) Sai.

Ta có: $\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}$

d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'}$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'}$$= - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}$$= \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ$

a) Đúng.

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

b) Đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.$.

c) Sai.

Tọa độ hình chiếu của điểm $B\left( {2;1; - 2} \right)$ trên mặt phẳng $Oxy$ là $H\left( {2;1;0} \right)$.

d) Sai.

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {2;6; - 4} \right)$

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2;6} \right) \Rightarrow - 3\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6; - 18} \right)$

Vậy $\overrightarrow x = \left( {8;0; - 22} \right)$.

a) Đúng.

$$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( {1;\,2;\,3} \right)$$

Vì $\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 2}}{3}$ nên $\overrightarrow {AB} \ne k\,\overrightarrow {BC}$. Suy ra ba điểm $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng.

b) Đúng.

$$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BD} = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$$

Vì $\frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2$ nên $\overrightarrow {AB} = - 2\,\overrightarrow {BD}$.

Suy ra điểm $A,\,B,\,D$ thẳng hàng.

c) Sai.

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)$.

$\overrightarrow {CB} = \left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} }}{{AB.CB}}$$= \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {12} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}$.

d) Sai.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\,4;\,1} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( { - 1;\,1; - \,1} \right)$

$$\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10;\,4;\, - 6} \right)$$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \,10.\left( { - 1} \right) + 4.1 + \left( { - 6} \right)\left( { - 1} \right) = 0$ nên ba vectơ $\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD}$ đồng phẳng

Nên bốn điểm $A;\,B;\,C;\,D$ đồng phẳng.

a) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} \left( {1; - 6;0} \right)$. Giả sử tồn tại số $k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k\\ - 4 = - 6k\\3 = 0k\end{array} \right.$ vô nghiệm suy ra không tồn tại $k$. Suy ra 3 điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AD} \left( {6; - 8;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}$. Vậy 3 điểm $A,B,D$ thẳng hàng.

c) Sai.

Ta có $cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3 + 24}}{{\sqrt {9 + 9 + 16} .\sqrt {1 + 36} }} = \frac{{27\sqrt {1258} }}{{1258}}$.

d) Sai.

Ta có $\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;3; - 14} \right) = \left( {x - 1;2x + 1;3z - 5} \right)$

Suy ra

$$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 18\\2y + 1 = 3\\3z - 5 = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 19\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {19^2} + 1 + 9 = 371$$

Cạnh hình lập phương là $a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .$

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}$$

Ta có: $\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'}$ và $A'D = a\sqrt 2$ .

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}$$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;\,4;\, - 7} \right)$. Gọi $D\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;\,y - 4;\,z} \right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 4 = 4\\z = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 3;8; - 7} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)$. Gọi $B'\left( {x';\,y';\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = \left( {x' - 4;\,y';\,z'} \right)$

Vì $BB'D'D$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 4 = 9\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 13\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {13;\,0;\,17} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = (4\,;\, - 5\,;\,1)$ và $\overrightarrow {AC} = (3\,;\, - 6\,;\,4)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} - 5\,\,\,\,\,\,1\\ - 6\,\,\,\,\,4\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}4\,\,\,\,\,\,\, - 5\\3\,\,\,\,\,\,\, - 6\end{array} \right|} \right) = ( - 14\,;\, - 13\,;\, - 9)$.

Đây là một vectơ thoả yêu cầu của bài toán.

Đáp số: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)$.

Gọi tọa độ điểm $A$ và $B$ lần lượt là $\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)$ và $\left( {{x_B};\,{y_B};\,{z_B}} \right)$. Do hồ bơi này có chiều rộng là 25 m và có 10 làn bơi với độ rộng như nhau nên độ rộng mỗi làn bơi là: $25:10 = 2{,}5\,\,{\rm{m}}$.

Do phao ngăn phân làn $AB$ nằm giữa làn thứ 5 trong hình tính từ dưới lên trên.

Suy ra: $AB$ cách thành hồ là giá của vectơ $\overrightarrow i$ ứng với trục $Ox$ là $2{,}5.4 + 2{,}5:2 = 11{,}25\,\,{\rm{m}}$.

Do AB song song với giá của vectơ $Ox$ nên: ${y_A} = {y_B} = 11{,}25$.

Ta lại có hai điểm $A$ và $B$ đều cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ và $AB = 40\,{\rm{m}}$.

Suy ra: điểm B cách thành hồ là giá của vectơ $\overrightarrow j$ ứng với trục $Oy$ là: $\left( {50 - 40} \right):2 = 5\,\,{\rm{m}}$.

Suy ra: ${x_B} = 5$ và ${x_A} = 45$.

Do phao ngăn phân làn nổi trên mặt hồ và cách đáy hồ 2 m nên: ${z_B} = {z_A} = 2$.

Suy ra: $A\left( {11{,}25;\,\,45;\,\,2} \right)$ và $B\left( {11{,}25;\,\,5;\,\,2} \right)$.

Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} = \left( {11{,}25 - 11{,}25;\,\,5 - 45;\,\,2 - 2} \right) = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)$.

Đáp số: $15321\,\,\left( N \right)$.

Gọi O là tâm hình chữ nhật $ABCD$, Theo bài toán thì là hình chóp $E.ABCD$ có đường cao là $EO$

Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = 2\overrightarrow {EO} ;{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 2\overrightarrow {EO}$

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO}$

dây cáp $EA,EB,EC,ED$có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${60^0}$ nên:

$\Rightarrow EO = EA.\sin {60^0} = 5000.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2500\sqrt 3$

Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên: $\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{P_1}}$

Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô: $\left| {\overrightarrow P } \right| + 2000 = 4\left| {\overrightarrow {EO} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow P } \right| = 4.2500\sqrt 3 - 2000 \approx 15321\left( N \right)$

Ta đơn giản hoá mô hình bài toán thông qua hình vẽ sau ($\overrightarrow {EO}$ cùng hướng với véctơ trọng lực của ô tô và khung sắt).

Theo giả thiết ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} , + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 6000.$Mặt khác:$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {4\overrightarrow {EO} } \right| = 4EO.$

Suy ra $EO = 1500.$

Ta có $\left( {ED,(ABCD)} \right) = \widehat {EDO} = {45^0}$. Như vậy $ED = \frac{{EO}}{{\sin {{45}^0}}} = 1500\sqrt 2 .$

Cường độ lực căng $\overrightarrow {{F_1}}$ là $1500\sqrt 2 N$.