Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ba véc tơ: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$.

Hai véc tơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$ có giá cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Gọi $B\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = - 2\end{array} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)$

$A,\,\,B,\,\,C$thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy $x + y = 5.$

$M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0;0} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {4 - x;2; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;1;0} \right)$

$M$ cách đều hai điểm $A,\,\,B$ khi $MA = MB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} \Leftrightarrow x = 4.$

A) Sai B) Sai C) Đúng D) Đúng

Từ giả thiết, ta có $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

A) Giả sử $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow d$. Theo quy tắc hình bình hành thì $\overrightarrow d \ne \overrightarrow {AC'}$ .

Suy ra $\overrightarrow a + \overrightarrow b \ne \overrightarrow c$.

B) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2$ (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).

C) Ta có

$\bullet \,{(\overrightarrow a + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600$

Suy ra $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600}$

$\bullet \,{(\overrightarrow b + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600$

Suy ra $\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600}$

Vậy $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|.$ĐÚNG.

D) Giả sử lực tổng hợp là $\overrightarrow m$, tức là $\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c .$ Do đó

$$\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}$$

$$\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a$$

$$\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900$$

$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30$$

Vậy cường độ hợp lực của $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b$ và $\overrightarrow c$là $30(N).$

a) Đ

b) S

c) Đ

Gọi $D\left( {x;\,\,y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-3;\ -1;\ -1)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\, - 2 - z\,} \right)$

Vì $ABCD$là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 - x\\ - 1 = 1 - y\\ - 1 = - 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right.$

Vậy $D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)$

d) Đ

Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Khi đó tọa độ điểm $H$ thỏa mãn $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} \, = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2z = - 1\\x + 2y + 3z = 3\\x - 8y + 5z = - 17\end{array} \right.$.

Suy ra $H\left( {\frac{2}{{15}};\frac{{29}}{{15}}; - \frac{1}{3}} \right)$.

Vậy $OH = \frac{{\sqrt {870} }}{{15}}$.

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có $\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k$$\Rightarrow \vec u = \left( {m;\,2;\, - 3} \right)$, $\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k$$\Rightarrow \vec v = \left( {2;\,m;\,4} \right)$.

Theo đề bài $\vec u.\vec v = 8 \Rightarrow 2m + 2m - 3.4 = 8 \Leftrightarrow m = 5.$

b) Ta có $\cos \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = 120^\circ$.

c) Ta có: $B\left( {2;0;0} \right)$, $C'\left( {0;2;2} \right)$ nên $\overrightarrow {BC'} = \left( { - 2;2;2} \right)$.

$A'\left( {0;0;2} \right)$, $C\left( {0;2;0} \right)$ nên $\overrightarrow {A'C} = \left( {0;2; - 2} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {A'C} = 0$.

d) Công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$:$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

a) Đ; b) S; c) S; d) Đ.

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên $OACB$ là hình chữ nhật, suy ra ${x_A} = {x_B} = 4$, ${y_C} = {y_B} = 5$.

Do điểm $A$ nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ điểm $A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)$; điểm $C$ nằm trên trục $Oy$ nên tọa độ điểm $C\left( {0;5;0} \right)$.

Tường nhà là hình chữ nhật nên $OCHE$ là hình chữ nhật, suy ra ${y_H} = {y_c} = 5$, ${z_H} = {z_E} = 3$.

Do $H$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên tọa độ điểm $H\left( {0;5;3} \right)$.

Tứ giác $OAFE$ là hình chữ nhật nên ${x_F} = {x_A} = 4$, ${z_F} = {z_E} = 3$

Do $H$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ nên tọa độ điểm $F\left( {4;0;3} \right)$.

b) Ta có toạ độ vectơ $\overrightarrow {AH} = ( - 4\,;\,5\,;\,3)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AF} = (0\,;0\,;3)$. Suy ra $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9$.

d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$.

Do mặt phẳng $\left( {Ozx} \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ nên $\widehat {PFE}$ là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Ta có $\overrightarrow {FP} = ( - 2\,;\,0\,;\,1)$, $\overrightarrow {FE} = ( - 4\,;\,0\,;\,0)$ suy ra $\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right|.\left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{( - 2)( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Do đó, $\widehat {PFE} \approx 26{,}6^\circ$. Vậy góc đốc mái nhà khoảng $26{,}6^\circ$.

ĐS: $3{,}74$.

Ta có: ${\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2}$$\Rightarrow 2\vec a\vec b = {\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} - {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} = 11$.

${\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} - 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2} = 9 - 11 + 16 = 14$$\Rightarrow \left| {\vec a - \vec b} \right| = \sqrt {14} \approx 3{,}74$.

ĐS: $27{,}7$

Ta có: $P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|$.

Vẽ hình vuông $OAEB$, ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE}$. (Quy tắc hình bình hành)

Vẽ hình chữ nhật $OCFE$, ta có $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF}$. (Quy tắc hình bình hành)

Suy ra: $P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF$.

Xét hình vuông $OAEB$, cạnh $16$, có đường chéo $OE = 16\sqrt 2$.

Xét tam giác vuông $OEF$, vuông tại $E$, có $OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27{,}7$

Vậy $P \approx 27{,}7$(N).

Do điểm $M \in {\rm{Ox}}$ nên ta gọi $M\left( {x;0;0} \right)$ ta có $MB = MC \Leftrightarrow M{B^2} = M{C^2}$.

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {1^2} + {0^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {4^2} + {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4{\rm{x}} + 5 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 42 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 37}}{2}.$

Vậy $M\left( { - \frac{{37}}{2};0;0} \right) \Rightarrow \,2x + y + z = - 37$.

Ta có: ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ + 9 = 37$

Tương tự ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ + 9 = 13$

Do đó $A = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} + \sqrt {13} \approx \,9{,}69$.

Trả lời: $6$

Trong mặt phẳng $OQNF$:

Qua điểm ${K_0}$ kẻ đường thẳng song song với $NQ$, đường thẳng này cắt $OQ,NF$lần lượt tại ${Q_0};{N_0}$. Khi đó: ${Q_0}\left( {0;0;25} \right);{N_0}\left( {90;120;25} \right)$.

Trung điểm ${K_0}$ của ${Q_0}{N_0}$ có tọa độ: ${K_0}\left( {45;60;25} \right)$.

Qua điểm ${K_1}$ kẻ đường thẳng song song với $NQ$, đường thẳng này cắt $OQ,NF$lần lượt tại ${Q_1};{N_1}$. Khi đó: ${Q_1}\left( {0;0;19} \right);{N_1}\left( {90;120;19} \right)$.

Trung điểm ${K_1}$ của ${Q_1}{N_1}$ có tọa độ: ${K_1}\left( {45;60;19} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {0;0; - 6} \right)$$\Rightarrow P = a + b - c = 6$.

Trả lời: $2$

Đặt $\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {OC} = \vec c$.

Khi đó, $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b\left| = \right|\vec c} \right| = 1$ và $\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0$.

Ta có: ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}$.

Mặt khác, do $\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)$

và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = \vec c - \vec a$ nên $\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)$$= \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) = - \frac{1}{2}.$

Ta lại có: $\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2$.

Do đó, ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy $Q = a.b = 2$.