Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Theo định nghĩa $1$ rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính.

Chọn D

Cung có số đo $\alpha$ rad của đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l = R.\alpha$.

Chọn C

$60^\circ = \frac{\pi }{3}$rad.

Ta có: cung có số đo $\alpha$ rad của đường tròn có bán kính $R$ có độ dài $l = R\alpha$.

Do đó cung $60^\circ$ có độ dài bằng $l = 6.\frac{\pi }{3}$$= 2\pi$.

Chọn B

Điểm $M$ thỏa mãn $\left( {Ox,OM} \right) = 500^\circ$ thì nằm ở góc phần tư thứ ${\rm{II}}$ vì $500^\circ - 360^\circ = 140^\circ \in \left( {90^\circ ;180^\circ } \right)$.

Chọn A

Ta có: trong $5$ giây quay được $2 \times 360^\circ = 720^\circ$.

Vậy trong $1$ giây quay được: $\frac{{720^\circ }}{5} = 144^\circ$.

Chọn A

Với $2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}$ ta có $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.

Chọn C

Ta có $\tan \alpha .\cot \alpha = 1 \Leftrightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2$.

Chọn D

Khi $\alpha \in \left( {0^\circ \,;\,90^\circ } \right)$ hàm $\cos \alpha$ là hàm giảm nên $\cos 35^\circ < \cos 10^\circ$ suy ra D sai.

Chọn B

Ta có ${\sin ^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên $\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn A

Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = - \frac{{5\pi }}{6},\beta = \frac{\pi }{3},\gamma = \frac{{25\pi }}{3}$, $\delta = \frac{{17\pi }}{6}$ trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc $\beta$ và $\gamma$ có điểm biểu diễn trùng nhau.

${\rm{\; + \;C\'a ch\;2:\;Ta\;c\'o :\;}}\gamma = \frac{{25\pi }}{3} = \frac{{24\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} = 4.2\pi + \frac{\pi }{3} = \beta + 4.2\pi {\rm{.\;}}$

Do đó, hai góc $\beta$ và $\gamma$ có điểm biểu diễn trùng nhau.

Chọn B

Vì $\pi - \alpha$ và $\alpha$ là hai góc bù nhau nên ${\rm{sin}}\left( {\pi - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha ;{\rm{cos}}\left( {\pi - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha$. Do đó đáp án $A$ đúng và đáp án $B$ sai.

Ta có góc $\pi + a$ và a là hai góc hơn kém nhau $1\pi$ nên ${\rm{sin}}\left( {\pi + a} \right) = - {\rm{sin}}\alpha ,{\rm{cos}}(\pi$ $+ a) = - {\rm{cos}}\alpha$. Do đó đáp án C và $D$ đều đúng.

Chọn C

Ta có: $M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) - {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)$

$= {\rm{cos}}\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right]{\rm{\;}}$ (áp dụng công thức cộng)

$= {\rm{cos}}2a = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - 1 = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a$ (áp dụng công thức nhân đôi)

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $\frac{{33\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in Z$

Vì $0 \le \alpha \le 2\pi$ nên $0 \le \frac{{33\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{33}}{4} + k2 \le 2,\,\,k \in Z$

$\Leftrightarrow - \frac{{33}}{8} \le k \le - \frac{{25}}{8},\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4$

Suy ra $\alpha = \frac{{33\pi }}{4} + \left( { - 4} \right).2\pi = \frac{\pi }{4}$

b) c) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $- \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z$

Vì $0 \le \alpha \le 2\pi$ nên $0 \le - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{291983}}{3} + k2 \le 2,\,\,k \in Z$

$\Leftrightarrow \frac{{291983}}{6} \le k \le \frac{{291989}}{6}\,,\,\,k \in Z \Leftrightarrow k =$

Suy ra $\alpha = - \frac{{291983\pi }}{3} + 48664.2\pi = \frac{\pi }{3}$

c) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $30 + k2\pi ,\,\,k \in Z$

Vì $0 \le \alpha \le 2\pi$ nên $0 \le 30 + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{15}}{\pi } + k \le 1,\,\,k \in Z$

$\Leftrightarrow - \frac{{15}}{\pi } \le k \le \frac{{\pi - 15}}{\pi },\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4$

Suy ra $\alpha = 30 + \left( { - 4} \right).2\pi = 30 - 8\pi \approx 4{,}867$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = 1$

$\Leftrightarrow \cos 10x = \cos 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10x = 4x + k2\pi \\10x = - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{7}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: $x = \frac{\pi }{7},x = - \frac{\pi }{7}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của $2\pi$ do đó

Vì $- \frac{{29\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \left( { - 2} \right).2\pi$, $\, - \frac{{22}}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = - 3\pi$, $\frac{{6\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = \pi$ và $\frac{{41\pi }}{7} - \left( { - \frac{\pi }{7}} \right) = 3.2\pi$ nên các số $- \frac{{29\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Phương trình $\Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + \cos 6x$

$\Leftrightarrow \cos 6x = \sin 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: $x = \frac{\pi }{{16}},x = - \frac{\pi }{8}$.

Vì $0 < x < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{x}{n} > 0$, $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

$\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } }$$= \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}} }$$= \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}} = \cos \frac{x}{8}$

Vậy $n = 8$.

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha$, $\beta < \pi$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha < 0\\\sin \beta > 0\end{array} \right.$.

Ta có $\cos \alpha = - \;\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \;\sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \;\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. $\sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Suy ra $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}$.

Vậy $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}$.

Vì $- 1 \le \cos x \le 1$, ta có: ${\sin ^4}x + {\cos ^7}x \le {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức ${\sin ^4}x + {\cos ^7}x$ là $1$.

Ta có: $0 < \alpha < {90^0}$$\Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}$$\Rightarrow 0 < \sin \frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow x > 0$

${\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1$$\Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}}$, vì $0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}}$$\Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}$

$tan\alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1}$.

${\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x - 1} \right){\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x$.

$= - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x = - {\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 3$.

Theo bài ra ta có: ${\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1{,}33$, thay vào $\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}$ ta được:

$\begin{matrix} & \frac{\text{sin}{50}^{∘}}{\text{sin}r}=\frac{1{,}33}{1}\text{(đk sin}r\ne 0\text{)} \\ & \Rightarrow \text{sin}r=\frac{\text{sin}{50}^{∘}}{1{,}33} \\ & \Leftrightarrow \text{sin}r\approx 0{,}57597\text{(thoa mãn đki)} \\ & \Leftrightarrow \text{sin}r\approx \text{sin}({35}^{∘}{10}^{\text{'}})\end{matrix}$

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}$Mà ${0^ \circ } < r < {90^ \circ }$ nên $r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}$.
Vậy góc khúc xạ $r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}$.