Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

a) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $y = {x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;4} \right)$; $\left( { - 1;1} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;1} \right)$; $\left( {2;4} \right)$.

Từ đây, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}$ như sau:

b) Ta có: ${x^2} = 16$ suy ra $x = 4$ hoặc $x = - 4$.

Do đó, các điểm trên parabol có tung độ $16$ là $\left( {4;16} \right)$ và $\left( { - 4;16} \right)$.

c) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2$; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$. Theo giả thiết thì ta có: $x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ (loại do khác gốc tọa độ) hoặc $\left| {{x_0}} \right| = 1$.

Suy ra ${x_0} = 1$ hoặc ${x_0} = - 1$.

Vậy $A\left( {1;1} \right)$ hoặc $A\left( { - 1;1} \right)$ là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

a) Thay $x = 1$, $y = - 2$ vào $\left( P \right)$, ta được: $a = - 2$.

Vậy $\left( P \right):y = - 2{x^2}$.

b) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $y = - 2{x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2; - 8} \right)$; $\left( { - 1; - 2} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1; - 2} \right)$; $\left( {2; - 8} \right)$.

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số $y = - 2{x^2}$ như sau:

c) Thay $x = 2$ vào $\left( P \right)$, ta được: $y = - {2.2^2} = - 8$.

Vậy điểm thuộc $\left( P \right)$ có hoành độ bằng $2$ là $\left( {2; - 8} \right)$.

1. Thay $x = - 1,y = 2$ vào hàm số $y = a{x^2}$, ta được: $2 = a.{\left( { - 1} \right)^2}$ suy ra $a = 2$.

Do đó, ta có hàm số $y = 2{x^2}$.

2.

a) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;8} \right)$; $\left( { - 1;2} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;2} \right);$$\left( {2;8} \right)$.

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số $y = 2{x^2}$ như sau:

c) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = 2x_0^2$; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$. Theo giả thiết thì ta có: $2x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ hoặc $\left| {{x_0}} \right| = \frac{1}{2}$.

Suy ra ${x_0} = \frac{1}{2}$ hoặc ${x_0} = - \frac{1}{2}$; ${x_0} = 0$

Vậy $A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$;$A\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$; $A\left( {0;0} \right)$ là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

a) Thay $x = \frac{1}{2},y = 2$ vào hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}$, ta được:

$\left( {{m^2} - 1} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 2$ suy ra ${m^2} - 1 = 8$ nên ${m^2} = 9$, do đó $m = 3$ hoặc $m = - 3$.

b) Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$.

Từ phương trình $2x + y = 1$ ta được $y = 1 - 2x$.

Thay $y = 1 - 2x$ vào phương trình $3x + 2y = 3$, ta có: $3x + 2\left( {1 - 2x} \right) = 3$, do đó $x = - 1.$

Với $x = - 1$ thì $y = 3$.

Do đó, $\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( { - 1;3} \right)$.

Thay $x = - 1$, $y = 3$ vào hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}$, ta được: $\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 3$,

suy ra ${m^2} - 1 = 3$ hay ${m^2} = 4$.

Do đó, $m = 2$ hoặc $m = - 2$.

c) • Với $m = 2$ và $m = - 2$ thì ta có hàm số $y = 3{x^2}$.

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

• Với $m = 3$ và $m = - 3$ thì ta có hàm số $y = 8{x^2}$.

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, ta có đồ thị hai hàm số $y = 3{x^2}$, $y = 8{x^2}$ được biểu diễn như sau:

a) Thay $x = 2,y = 4$ vào hàm số $y = a{x^2}$, ta được: $a.{\left( 2 \right)^2} = 4$ suy ra $a = 1$.

Vậy hàm số đó là $y = {x^2}$.

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $y = {x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;4} \right)$; $\left( { - 1;1} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;1} \right)$; $\left( {2;4} \right)$.

Từ đây, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}$ như sau:

b) Thay $y = 8$ vào hàm số $y = {x^2}$ được ${x^2} = 8$, suy ra $x = 2\sqrt 2$ hoặc $x = - 2\sqrt 2$.

Vậy các điểm có tọa độ $\left( {2\sqrt 2 ;8} \right)$ và $\left( { - 2\sqrt 2 ;8} \right)$.

c) Thay $x = m,y = {m^3}$ vào hàm số $y = {x^2}$, ta được:

${m^2} = {m^3}$, suy ra ${m^3} - {m^2} = 0$ hay ${m^2}\left( {m - 1} \right) = 0$ suy ra $m = 0$ hoặc $m = 1$.

d) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = {x^2}$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2$; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$. Theo giả thiết thì ta có: $x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ (loại do khác gốc tọa độ) hoặc $\left| {{x_0}} \right| = 1$.

Suy ra ${x_0} = 1$ hoặc ${x_0} = - 1$.

Do đó, các điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right)$ và $\left( { - 1;1} \right)$ cách đều các trục tọa độ.

a) Nếu mất $3{\rm{s}}$ để hòn đá chạm đáy thì độ sâu của hang là $h = 4,{9.3^2} = 44{,}1{\rm{ m}}$.

b) Nếu hang sâu $122{,}5{\rm{ m}}$ thì thời gian để hòn đá chạm đáy là:

$4{,}9{t^2} = 122{,}5$, suy ra ${t^2} = 25$ do đó $t = 5{\rm{s}}$ $\left( {t > 0} \right)$.

a) • Tìm hàm số $y = a{x^2}$.

Theo đề bài, ta có: hàm số $y = a{x^2}$ đi qua điểm có tọa độ là $\left( {200;75} \right)$ và $\left( { - 200;75} \right)$.

Do đó, thay $x = 200,y = 75$ vào hàm số $y = a{x^2}$, ta được:

$75 = a{.200^2}$ suy ra $a = \frac{3}{{1600}}$.

Vậy hàm số đó là $y = \frac{3}{{1600}}{x^2}$.

Để tính được chiều cao của $CH$, ta thay $x = 100$ vào hàm số $y = \frac{3}{{1600}}{x^2}$, ta được:

$y = \frac{3}{{1600}}{.100^2} = \frac{{75}}{4} = 18{,}75{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy độ dài đoạn $CH = 18{,}75{\rm{ m}}$.

b) Ta có tọa độ điểm $M( - {x_0};27)$ và $N({x_0};27)$.

Thay $y = 27$ vào hàm số $y = \frac{3}{{1600}}{x^2}$, ta được:

$27 = \frac{3}{{1600}}{x^2}$ suy ra ${x^2} = 14400$ suy ra $x = 120$ và $x = - 120$.

Do đó, tọa độ điểm $M( - 120;27)$, $N(120;27)$.

Có khoảng cách từ $M$ lần lượt đến tâm $O$ bằng khoảng cách từ $N$ lần lượt đến tâm $O$ hay $MO = ON$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $EOM$, có:

$O{E^2} + E{M^2} = O{M^2}$ hay ${27^2} + {120^2} = O{M^2}$ suy ra $OM = 123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, khoảng cách hai điểm $M,N$ lần lượt đến tâm $O$ là $123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Gọi tọa độ của $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$.

Ta có $AB = 8{\rm{ m}}$ và có $C$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AC = BC = \frac{{AB}}{2} = 4{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Có $A$ và $B$ nằm về hai phái của trục tung nên suy ra ${x_A} = - 4$ và ${x_B} = 4$.

Mà độ cao $OC = 4{\rm{ m}}$ suy ra ${y_A} = {y_B} = 4$.

Suy ra $A\left( { - 4;4} \right)$ và $B\left( {4;4} \right)$.

Thay $x = 4,y = 4$ vào hàm số $y = a{x^2}$ ta được:

$4 = a{.4^2}$ suy ra $a = \frac{1}{4}$.

Vậy ta có $y = \frac{1}{4}{x^2}$.

b) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{4}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;1} \right)$; $\left( { - 1;\frac{1}{4}} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;\frac{1}{4}} \right);$

$\left( {2;1} \right)$.

Vậy ta có đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{4}$ như sau:

Theo đề, ta có $OK = 15{\rm{ m}}$ và $AB = 30{\rm{ m}}$.

Suy ra $AK = BK = \frac{{AB}}{2}{\rm{ = 15 m}}$.

Vì $A,B$ nằm về hai phía so với trục tung.

Suy ra tọa độ $A\left( { - 15;15} \right)$ và $B\left( {15;15} \right)$.

Thay $x = 15,y = 15$ vào $y = a{x^2}$, ta được: $15 = a{.15^2}$ suy ra $a = \frac{1}{{15}}$.

Vậy có hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{15}}$.

a) Thay $t = 5$, $y = 225$ ta được: $255 = a{.5^2}$ suy ra $a = \frac{{255}}{{25}} = 9$.

Vậy ta có hàm số $y = 9{t^2}$.

b) Đổi $3{,}6{\rm{ km}} = 3600{\rm{ m}}$.

Thay $y = 3600$ vào hàm số $y = 9{t^2}$, ta được: $3600 = 9{t^2}$ do đó ${t^2} = \frac{{3600}}{9} = 400$, suy ra $t = 20$ (do $t > 0$).

Vậy ô tô đi trong thời gian $20$ giây thì được quãng đường $3{,}6{\rm{ km}}$ so với vị trí ban đầu.

a) $5{x^2} - 7x = 0$

$$x\left( {5x - 7} \right) = 0$$

$x = 0$ hoặc $5x - 7 = 0$

Do đó, $x = 0$ hoặc $x = \frac{7}{5}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ hoặc $x = \frac{7}{5}$.

b) $- 3{x^2} + 9 = 0$

$$- 3{x^2} = - 9$$

$${x^2} = 3$$

${x^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}$ hoặc ${x^2} = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2}$

Do đó, $x = \sqrt 3$ hoặc $x = - \sqrt 3$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ {\sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right\}$.

c) $- \sqrt 3 {x^2} - 7x = 0$

$$\left( { - \sqrt 3 x - 7} \right)x = 0$$

$x = 0$ hoặc $- \sqrt 3 x - 7 = 0$.

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy phương trình có nghiệm $\left\{ {0; - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}} \right\}$

d) $- \frac{3}{5}{x^2} - \frac{7}{2} = 0$

$$- \frac{3}{5}{x^2} = \frac{7}{2}$$

${x^2} = - \frac{{35}}{6}$ (vô lí do ${x^2} \ge 0$).

Vậy phương trình vô nghiệm.

e) ${\left( {x + 1} \right)^2} = 4$

TH1: $x + 1 = 2$ suy ra $x = 1$.

TH2: $x + 1 = - 2$ suy ra $x = - 3$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ {1; - 3} \right\}$.

f) ${\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0$

$${\left( {x - 5} \right)^2} = 11$$

TH1: $x - 5 = \sqrt {11}$ suy ra $x = 5 + \sqrt {11}$.

TH2: $x - 5 = - \sqrt {11}$ suy ra $x = 5 - \sqrt {11}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}$.

(g) $- {x^2} - 7x - 6 = 0$

Nhận thấy:

$a - b + c = - 1 - \left( { - 7} \right) + \left( { - 6} \right) = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là $x = - 1$ và $x = - 6$.

(h) ${x^2} - 3x + 2 = 0$

Nhận thấy $a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm là

$x = 1$ và $x = 2$.

Ta có biệt thức:

$\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.9.4 = 0$.

Do đó, phương trình có nghiệm kép là $x = \frac{{12 + 0}}{{2.9}} = \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{2}{3}$.

k) ${x^2} - 6x + 8 = 0$

$${x^2} - 2x - 4x + 8 = 0$$

$$\left( {x - 2} \right)x - 4\left( {x - 2} \right) = 0$$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0$$

Do đó, $x - 2 = 0$ hoặc $x - 4 = 0$.

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = 4$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ {2;4} \right\}$.

l) $2{x^2} - 6x + 3 = 0$

Phương trình có biệt thức:

$\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.2.3 = 12 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{4} = \frac{{ - 3 + \sqrt 3 }}{2}$ và

${x_1} = \frac{{ - 6 - \sqrt {12} }}{4} = \frac{{ - 3 - \sqrt 3 }}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $\left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt 3 }}{2}} \right\}$.

m) ${x^2} - 3x + 3 = 0$

Phương trình có biệt thức là:

$\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.3 = - 3 < 0$.

Do đó phương trình vô nghiệm.

a) ${x^2} + \sqrt 8 x = 2$

${x^2} + \sqrt 8 x - 2 = 0$.

Ta có: $\Delta = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = 16 > 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - \sqrt 8 + 4}}{2} = - \sqrt 2 + 2$ và ${x_1} = \frac{{ - \sqrt 8 - 4}}{2} = - \sqrt 2 - 2$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ { - \sqrt 2 - 2; - \sqrt 2 + 2} \right\}$.

b) ${x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 = 0$

Ta có: $\Delta = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.2 = 0$.

Do đó phương trình có nghiệm kép

${x_1} = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{2} = - \sqrt 2$.

Vậy phương trình có nghiệm ${x_1} = - \sqrt 2$.

c) $2{x^2} + 2\sqrt {11} x - 7 = 0$

Ta có:

$\Delta = {\left( {2\sqrt {11} } \right)^2} - 4.2.\left( { - 7} \right) = 100 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - 2\sqrt {11} + 10}}{4} = \frac{{5 - \sqrt {11} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ - 2\sqrt {11} - 10}}{4} = \frac{{5 + \sqrt {11} }}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm

$\left\{ {\frac{{5 - \sqrt {11} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {11} }}{2}} \right\}$.

d) $3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0$

$${\left( {\sqrt 3 x} \right)^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0$$

$${\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0$$

Suy ra $\sqrt 3 x - 1 = 0$, do đó $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

e) $\sqrt 3 {x^2} - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 1 = 0$

Nhận thấy:

$a - b + c = \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) - 1 = 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm là

$x = - 1$ và $x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; - 1} \right\}$.

f) $- 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0$

Ta có:

$\Delta = {\left( {4\sqrt 6 } \right)^2} - 4.4.\left( { - 3} \right) = 144 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 4\sqrt 6 + 12}}{{ - 6}} = \frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3}$

và ${x_2} = \frac{{ - 4\sqrt 6 - 12}}{{ - 6}} = \frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $\left\{ {\frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3};\frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}} \right\}$.

(g) $3{x^2} - 4x = \sqrt 2 {x^2} - 2$

$$\left( {3 - \sqrt 2 } \right){x^2} - 4x + 2 = 0$$

Ta có:

$$\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.2.\left( {3 - \sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 - 8 > 0$$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{4 + \sqrt {8\sqrt 2 - 8} }}{{2\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 + \sqrt {2\sqrt 2 - 2} }}{{3 - \sqrt 2 }}$ và

${x_2} = \frac{{4 - \sqrt {8\sqrt 2 - 8} }}{{2\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - \sqrt {2\sqrt 2 - 2} }}{{3 - \sqrt 2 }}$.

h) ${x^2} = \sqrt 2 x + 2\sqrt 2$.

$${x^2} - \sqrt 2 x - 2\sqrt 2 = 0$$

Ta có:

$\Delta = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.\left( { - 2\sqrt 2 } \right) = 2 + 8\sqrt 2 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt {8\sqrt 2 + 2} }}{2}$ và

${x_2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt {8\sqrt 2 + 2} }}{2}$.

a) ${\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0$

$${\left( {x + 1} \right)^2} - {\left[ {2\left( {x - 1} \right)} \right]^2} = 0$$

$$\left( {x + 1 + 2x + 2} \right)\left( {x + 1 - 2x - 2} \right) = 0$$

$$\left( {3x + 3} \right)\left( { - x - 1} \right) = 0$$

$$- 3\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$

$$- 3{\left( {x + 1} \right)^2} = 0$$

Do đó $x + 1 = 0$ suy ra $x = - 1$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$.

b) ${x^2} + 7x - 3 = x\left( {x - 1} \right) - 1$

$${x^2} + 7x - 3 - {x^2} + x + 1 = 0$$

$$8x - 2 = 0$$

$$8x = 2$$

$x = \frac{1}{4}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{4}$.

c) $2{x^2} - 5x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 3$

$$2{x^2} - 5x - 3 = {x^2} - 1 + 3$$

$$2{x^2} - 5x - 3 - {x^2} + 1 - 3 = 0$$

$${x^2} - 5x - 5 = 0$$

Ta có: $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.\left( { - 5} \right) = 45 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{5 - \sqrt {45} }}{2} = \frac{{5 - 3\sqrt 5 }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{5 + \sqrt {45} }}{2} = \frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm $\left\{ {\frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{2};\frac{{5 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}$.

d) $5{x^2} - x - 3 = 2x\left( {x - 1} \right) - 1 + {x^2}$

$$5{x^2} - x - 3 = 2{x^2} - 2x - 1 + {x^2}$$

$$5{x^2} - x - 3 - 2{x^2} + 2x + 1 - {x^2} = 0$$

$$2{x^2} + x - 2 = 0$$

Ta có: $\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 2} \right).2 = 17 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4}$ và ${x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4}$.

a) Để phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\end{array} \right.$.

Nhận thấy ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng với mọi $m$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m \ne 0$.

b) Để phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0$ có nghiệm kép thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.$.

Nhận thấy ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng với mọi $m$.

Do đó ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

c) Xét với $m = 0$ thì ta có $- 2x + 3 = 0$ suy ra $x = \frac{3}{2}$.

Do đó với $m = 0$ thì phương trình có đúng một nghiệm là $x = \frac{3}{2}$.

Xét $m \ne 0$, để phương trình vô nghiệm thì $\Delta ' < 0$.

Ta có: ${\left( {m + 1} \right)^2} - 3m < 0$ suy ra ${m^2} - m + 1 < 0$ hay ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} < 0$.

Nhận thấy ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng với mọi $m$.

Do đó, không có giá trị $m$ thỏa mãn để phương trình vô nghiệm.

d) Xét với $m = 0$ thì ta có $- 2x + 3 = 0$ suy ra $x = \frac{3}{2}$.

Do đó với $m = 0$ thì phương trình có đúng một nghiệm là $x = \frac{3}{2}$.

Vậy với $m = 0$ thì phương trình có đúng một nghiệm.

a) Với $m = 2$, ta có: ${x^2} - 1 = 0$ suy ra ${x^2} = 1$.

Do đó, $x = 1$ hoặc $x = - 1$.

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có nghiệm là $\left\{ { - 1;1} \right\}$.

b) Xét $2m - 3 = 0$ suy ra $m = \frac{3}{2}$ thì ta có phương trình $x - 1 = 0$ suy ra $x = 1$. (1)

Xét $2m - 3 \ne 0$ suy ra $m \ne \frac{3}{2}$ thì ta có phương trình $\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0$.

Ta có: $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2m - 3 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. (2)

Từ (1) và (2) ta chứng minh được với mọi $m \in \mathbb{R}$ thì phương trình luôn có nghiệm.

c) Để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Vậy với $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình có nghiệm kép thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Vậy với $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Để phương trình vô nghiệm thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 < 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m < - \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m < - \frac{1}{4}\end{array} \right.$ thì phương trình vô nghiệm.

d) Để phương trình có đúng một nghiệm thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất. Do đó, $m - 2 = 0$, suy ra $m = 2$.

Với $m = 2$, ta có: $6x + 2 = 0$ suy ra $x = - \frac{1}{3}$.

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = - \frac{1}{3}$.

e) Xét $m - 2 = 0$ suy ra $m = 2$.

Suy ra phương trình có đúng một nghiệm $x = - \frac{1}{3}$.

Xét $m - 2 \ne 0$, suy ra $m \ne 2$.

Do đó, để phương trình có nghiệm thì $\Delta ' \ge 0$ hay ${\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) \ge 0$, suy ra

$m \ge - \frac{1}{4}$.

Do đó, $m \ge - \frac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm.

a) Với $m = 3$, ta có phương trình: ${x^2} - 2x + 5 = 0$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0$.

Nhận thấy ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0$ với mọi $x$.

Do đó, phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0$ vô nghiệm.

Vậy với $m = 3$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Thay $x = - 4$ vào phương trình, ta có:

$${\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0$$

$$16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0$$