Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left( {x > 0} \right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x - 5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $= 4{,}8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4{,}8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $= 1{,}8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4{,}8 - 1{,}8 = 3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left( {x - 5} \right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4{,}8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87$

$4{,}8x = 3x - 15 + 87$

$4{,}8x - 3x = - 15 + 87$

$1{,}8x = 72$

$x = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40 - 5 = 35$ km/h.

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút $= \frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 3} \right).$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là $\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)$ (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là $2\left( {x--3} \right)$(km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

$$\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)$$

$$4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)$$

$$4x + 12 = 6x - 18$$

$$4x - 6x = - 18 - 12$$

$$- 2x = - 30$$

$x = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$ km/h.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số thứ nhất thì số thứ hai là $100 - x.$

Khi tăng số thứ nhất lên 2 lần thì số thứ nhất lúc này là $2x.$

Khi cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ hai lúc này là $100 - x + 5 = 105 - x.$

Khi đó, số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên ta có phương trình:

$2x = 5\left( {105 - x} \right)$.

$2x = 525 - 5x$

$2x + 5x = 525$

$7x = 525$

$x = 75$ (thỏa mãn).

Khi đó số thứ nhất là 75, số thứ hai là $100 - 75 = 25.$

Vậy hai số cần tìm là: 75 và 25.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Vì số tự nhiên cần tìm là số chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị có thể là 0 hoặc 5.

Mà số tự nhiên này là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó chỉ có thể là 5.

Độ lớn của số cần tìm là: $\overline {x5} = 10x + 5.$

Vì hiệu của số đó và chữ số hàng chục bằng 86 nên ta có phương trình:

$10x + 5 - x = 86$

$9x = 81$

$x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 95.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: $12 - x.$

Độ lớn số ban đầu là: $10x + \left( {12 - x} \right).$

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: $12 - x$ và chữ số hàng đơn vị là $x.$ Số mới có độ lớn là: $10\left( {12 - x} \right) + x.$

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

$\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18$

$10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18$

$$10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120$$

$18x = 126$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là $12 - 7 = 5.$

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$ (tấn) $\left( {x > 0} \right).$

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là $\frac{x}{{20}}$ (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là $x + 10$ (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20 + 6 = 26$ (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là $\frac{{x + 10}}{{26}}$ (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

$\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}$

$13x - 260 = 10x + 100$

$13x - 10x = 100 + 260$

$3x = 360$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x\,\,\left( \% \right)$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20\,\,\left( \% \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x + 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\%$

$2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5$

$5x = 225$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\% .$

Hướng dẫn giải

Gọi trọng lượng bạc trong mũ $x$ (Newton) $\left( {0 < x < 5} \right).$

Trọng lượng vàng trong mũ là $5 - x$ (Newton).

Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm $\frac{x}{{10}}$ (Newton), trọng lượng vàng giảm $\frac{{5 - x}}{{20}}$ (Newton).

Mà trọng lượng của mũ giảm đi 0,3 Newton nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{10}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = 0{,}3$

$\frac{{2x}}{{20}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = \frac{{0{,}3 \cdot 20}}{{20}}$

$2x + 5 - x = 6$

$x = 1$ (thỏa mãn).

Do đó trọng lượng bạc trong mũ là 1 Newton.

Vậy chiếc mũ chứa 100 gam bạc.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right)$ thì tuổi của bố Minh hiện nay là $10x.$

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là $x + 24.$

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là $10x + 24.$

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

$10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)$

$10x + 24 = 2x + 48$

$10x - 2x = 48 - 24$

$8x = 24$

$x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi con hiện nay là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right).$

Cách đây 4 năm, tuổi con là $x - 4.$ Khi đó tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con nên tuổi mẹ là: $5\left( {x - 4} \right).$

Sau đây 2 năm, tuổi con là $x + 2.$ Khi đó tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên tuổi mẹ là:$3\left( {x + 2} \right)$.

Khoảng cách giữa hai lần này là 6 năm nên ta có phương trình:

$3\left( {x + 2} \right) - 5\left( {x - 4} \right) = 6$

$3x + 6 - 5x + 20 = 6$

$- 2x = - 20$

$x = 10$ (thỏa mãn).

Khi đó tuổi con hiện nay là 10. Sau 2 năm thì tuổi con là $12,$ tuổi mẹ là $3 \cdot 12 = 36.$ Do đó tuổi mẹ hiện nay là $36 - 2 = 34.$

Vậy tuổi con hiện nay là 10, tuổi mẹ hiện nay là 34.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là $\frac{{100}}{2} = 50$ (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $x$ (m) $\left( {0 < x < 50} \right).$

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: $50 - x$ (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $x\left( {50 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là $x + 10$ (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là $50 - x - 10 = 40 - x$ (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: $\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

$x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$

$50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x$

$50x - 40x + 10x = 400$

$20x = 400$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;$ (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là $x$ (m) $\left( {x > 0} \right).$

Chu vi của hình vuông nhỏ là $4x$ (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là $4x + 20$ (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: $\frac{{4x + 20}}{4} = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{4} = x + 5$ (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là ${x^2}$ (m$^{2}$) và diện tích của hình vuông lớn là ${\left( {x + 5} \right)^2}$ (m$^{2}$).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng $65\;{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

${\left( {x + 5} \right)^2} - {x^2} = 65$

${x^2} + 10x + 25 - {x^2} = 65$

$10x = 40$

$x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: .$4\;{\rm{m}}$. và $9\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ có $AB \bot AC;\,\,IN \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,IN.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IN$ là đường trung bình của tam giác, do đó $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $ADCI$ có: $N$ là trung điểm của $ID,\,\,AC$ nên $ADCI$ là hình bình hành.

Lại có $IN \bot AC$ hay $ID \bot AC$ nên hình bình hành $ADCI$ là hình thoi.

b) Kẻ $IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),$ mà $I$ là trung điểm của $BC,$ nên $IH$ là đường trung bình của $\Delta BKC.$ Do đó $H$ là trung điểm của $KC$ hay $KH = HC\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta DIH$ có $N$ là trung điểm của $DI$ và $NK\,{\rm{//}}\,IH$ (do $BK\,{\rm{//}}\,IH)$ nên $NK$ là đường trung bình của $\Delta DIH,$ suy ra $K$là trung điểm của $DH$ hay $DK = KH\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $DK = KH = HC.$ Do đó $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

a) Xét $\Delta ABD$ có $DM$ là đường phân giác của $\widehat {ADB}$ nên $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét $\Delta ACD$ có $DN$ là đường phân giác của $\widehat {ADC}$ nên $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Mà $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ (câu a) và $DB = DC$ nên $\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

c) Xét $\Delta ABC$ có: $\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (câu b) nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$(định lí Thalès đảo).

a) Vì $AD\,{\rm{//}}\,KM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {BKM}$ (đồng vị).

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {CEM}$ (đồng vị).

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Do đó $\widehat {BKM} = \widehat {CEM},$ lại có $\widehat {CEM} = \widehat {AEK}$ nên $\widehat {BKM} = \widehat {AEK}$ hay $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.$

Tam giác $AEK$ có $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}$ nên là tam giác cân tại $A.$

b) Xét $\Delta ACD$ có $EM\,{\rm{//}}\,AD,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.$

Mà $\Delta AEK$ cân tại $A$ nên $AK = AE.$

Lại có điểm $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC.$

Do đó $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) Xét $\Delta BMK$ có $AD\,{\rm{//}}\,KM,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}$ nên $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},$ do đó $EC = BK.$

a) Xét $\Delta ADC$ có $E,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,AC$ nên $EI$ là đường trung bình của $\Delta ADC.$

Do đó $EI\,{\rm{//}}\,CD$ và $EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2}.$

Xét $\Delta ABC$ có $I,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,BC$ nên $IF$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $IF\,{\rm{//}}\,AB$ và $IF = \frac{{AB}}{2}.$

b) Trong $\Delta EIF$ ta có: $EF \le EI + IF$ (dấu "=" xảy ra khi $E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng)

Mà $EI = \frac{{C{\rm{D}}}}{2};\,\,IF = \frac{{AB}}{2}$ (chứng minh ở câu a)

Do đó $EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.$

Vậy $EF \le \frac{{AB + CD}}{2}$ (dấu bằng xảy ra khi $AB\,{\rm{//}}\,CD).$

a) Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,DM$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,MC$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả

định lí Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.$ $\left( 2 \right)$

Lại có $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC.$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},$ theo định lí Thalès đảo ta có $EF\,{\rm{//}}\,AB.$

b) Xét $\Delta ADM$ có $HE\,{\rm{//}}\,DM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Xét $\Delta AMC$ có $EF\,{\rm{//}}\,MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Do đó $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},$ mà $DM = MC$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EF = FN.$ Suy ra $HE = EF = FN.$

c) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7{,}5}}{6} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.$

Do đó $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Mà theo câu b, $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Suy ra $HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.$

Vậy $HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}.$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DC = DB.$

Do đó $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1,$ nên $DM = DN.$

Suy ra $GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD.$

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG = 2GD.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1.$

c) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}}$$= \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}$

$= \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}}$$= \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}}$

$= \frac{{2AG + 2 \cdot \frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3.$

Vậy $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$

a) Gọi $AD$ là đường phân giác góc $BAC$ $\left( {D \in BC} \right).$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},$ hay $\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}.$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{15}}{{18 + 12}} = \frac{1}{2}.$$

Suy ra $CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9{\rm{\;cm}}$ và $BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ACD,$ có $CI$ là đường phân giác của $\widehat {ACD}$ nên $\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{18}}{9} = 2.$

Mặt khác, do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2.$

Do đó $\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ theo định lí Thalès đảo ta có $IG\,{\rm{//}}\,BC.$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó $MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7{,}5{\rm{\;cm}}.$

Suy ra $DM = BM - BD = 7{,}5 - 6 = 1{,}5{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ADM$ có $IG\,{\rm{//}}\,BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $IG = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3} \cdot 1{,}5 = 1{\rm{\;cm}}.$

Đặt các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P$ như hình vẽ trên.

⦁ Xét $\Delta AMC$ có $E,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,MC$ (do $EA = EC,PM = PC)$ nên $EP$ là đường trung bình của $\Delta AMC.$

Do đó $EP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 2{,}7 = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay $x = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

⦁ Ta có $MB = MN + NB$ và $MC = MP + PC$

Mà $MN = NB = MP = PC$ nên $MB = MC.$

Xét $\Delta ABC$ có $D,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ (do $DB = DA,MB = MC)$ nên $DM$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $DM = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $AC = 2DM = 2 \cdot 2{,}8 = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$ Hay $y = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là $x = 1{,}35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right);$ $y = 5{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

Xét $\Delta ABC$ có $AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{CF}}{{FA}},$ hay $\frac{{42}}{{BE}} = \frac{{35}}{{50}}.$

Suy ra $BE = \frac{{42 \cdot 50}}{{35}} = 60{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Thời gian để bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ là: $6$ giờ $30$ phút $- \,\,6$ giờ $= 30$ phút $= 0{,}5$ giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ trong $0{,}5$ giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: $AC = {S_{A \to C}} = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ (km).

Xét $\Delta ACB$ có $CH$ là đường phân giác của $\widehat {ACB},$ nên ta có: $\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}}$ hay $\frac{{0{,}32}}{{0{,}4}} = \frac{2}{{CB}}$ Suy ra $CB = \frac{{0{,}4 \cdot 2}}{{0{,}32}} = 2{,}5$ (km).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường $2{,}5$ km với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{{2{,}5}}{{10}} = 0{,}25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ $A$ đến trường $B$ là

$0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75$ (giờ) $= 45$ (phút).