Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

Hướng dẫn giải

a) Với $m = 0,$ ta có $\left( {d'} \right):y = - 2x.$

⦁ Xét hàm số $y = 2x + 4$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right).$

Cho $x = 0,$ ta được $y = 4.$

Cho $x = - 2,$ ta được $y = 0.$

Đồ thị hàm số $y = 2x + 4$ là đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua hai điểm $\left( {0;4} \right)$ và $\left( { - 2;0} \right)$ (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số $y = - 2x$ có đồ thị là đường thẳng $\left( {d'} \right).$

Cho $x = 0,$ ta được $y = 0.$

Cho $x = - 1,$ ta được $y = 2.$

Đồ thị hàm số $y = - 2x$ là đường thẳng $\left( {d'} \right)$ đi qua hai điểm $\left( {0;0} \right)$ và $\left( { - 1;2} \right)$ (hình vẽ).

b) Với $m = 0,$ ta có $\left( {d'} \right):y = - 2x.$

Xét hai đường thẳng $\left( d \right):y = 2x + 4$ và $\left( {d'} \right):y = - 2x.$

Hai đường thẳng trên cắt nhau do có hệ số khác nhau.

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

$2x + 4 = - 2x$

$4x = 4$

$x = 1.$

Thay $x = 1$ vào hàm số $y = - 2x$ ta được: $y = - 2 \cdot 1 = - 2.$

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$ là $\left( {1; - 2} \right).$

c) Để $\left( d \right)$ song song với $\left( {d'} \right)$ thì $m - 2 = 2$ và $2 \ne 4$ (luôn đúng)

Do đó $m = 4.$

d) Để $\left( d \right)$ cắt $\left( {d'} \right)$ thì $m - 2 \ne 2,$ hay $m \ne 4.$

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Để $\left( d \right)$ cắt $\left( {d'} \right)$ tại điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ thuộc trục hoành thì ${y_A} = 0.$

Thay ${y_A} = 0$ vào hàm số $y = 2x + 4$ ta được $0 = 2{x_A} + 4,$ suy ra ${x_A} = - 2.$

Thay ${x_A} = - 2$ và ${y_A} = 0$ vào $y = \left( {m--2} \right)x + m + 2$ ta được:

$4 = \left( {m - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + m + 2$

$- 2m + 4 + m + 2 = 4$

$m = 2$ (thỏa mãn $m \ne 4).$

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng $y=(3-m)x+3m+2$ đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ thì $x = 1$ và $y = 3$ thỏa mãn hàm số trên.

Do đó ta có: $3 = \left( {3--m} \right) \cdot 1 + 3m + 2$$m \ne 2.$

$3=3-m+3m+2$

$$2m = - 2$$

$m = - 1.$

Vậy $m = - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để đường thẳng $y=(3-m)x+3m+2$ cắt đường thẳng $y = x--1$ thì $3 - m \ne 1,$ do đó

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ là giao điểm của hai đường thẳng.

Để hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ nằm trên trục tung thì ${x_A} = 0.$

Thay ${x_A} = 0$ vào hàm số $y=x-1$ ta được ${y_A} = 0 - 1 = - 1.$

Thay ${x_A} = 0$ và ${y_A} = - 1$ vào hàm số $y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2$ ta được:

$$- 1 = \left( {3--m} \right) \cdot 0 + 3m + 2$$

$$- 1 = 3m + 2$$

$m = - 1$ (thỏa mãn $m \ne 2).$

Vậy $m = - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình:

$- 2x = 1{,}5x + 7$

$3{,}5x = - 7$

$x = - 2.$

Thay $x = - 2$ vào hàm số $y = - 2x,$ ta được $y = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là $A\left( { - 2;4} \right).$

b) Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ thì $- 2m \ne - 2,$ do đó $m \ne 1.$

Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right)$ thì $- 2m \ne 1{,}5,$ do đó $m \ne - \frac{3}{4}.$

Khi đó ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua giao điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right).$

Do đó $4 = - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5$

$4m = - 1$

$m = - \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $m = - \frac{1}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {3;--1} \right)$ nên ta có:

$- 1 = a \cdot 3 + b,$ do đó $b = - 3a - 1.$

Đồ thị hàm số $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $B\left( {2;--5} \right)$ nên ta có:

$$- 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)$$

Thay $b = - 3a - 1$ vào $\left( * \right)$ ta được:

$$- 5 = a \cdot 2 - 3a - 1$$

$a = 4.$

Suy ra $b = - 3 \cdot 4 - 1 = - 13.$

Vậy $a = 4$ và $b = - 13.$

b) Đồ thị hàm số $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

$5 = a \cdot 0 + b,$ do đó $b = 5.$ Khi đó ta có hàm số $y = ax + 5.$

Đồ thị hàm số $y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $- 1$ nên ta có: $0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,$ do đó $a = 5.$

Vậy $a = 5$ và $b = 5.$

c) Do đồ thị hàm số $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ song song với đường thẳng $y = \frac{3}{2}x - 24,$ nên ta có $a = \frac{3}{2}$ và $b \ne - 24.$ Khi đó ta có hàm số $y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).$

Hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right):y = x + 1$ và $\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3$ là nghiệm của phương trình: $x + 1 = 2x - 3$

$x = 4.$

Thay $x = 4$ vào hàm số $y = x + 1$ ta được $y = 4 + 1 = 5.$

Do đó hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại điểm $\left( {4;5} \right).$

Do đường thẳng $y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)$ đi qua điểm $\left( {4;5} \right)$ nên ta có:

$5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,$ do đó $b = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy $a = \frac{3}{2}$ và $b = - 1.$

d) Do đường thẳng $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{4}x + 9$ nên ta có $a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,$ suy ra $a = 4$ (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số $y = 4x + b.$

Đường thẳng $y = 4x + b$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

$5 = 4 \cdot 0 + b,$ do đó $b = 5.$

Vậy $a = 4$ và $b = 5.$

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng $y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4$ song song với trục hoành thì $3 - 2m = 0$ và $m + 4 \ne 0.$

Do đó $m = \frac{3}{2}$ và $m \ne - 4.$

Vậy $m = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4$ luôn đi qua với mọi giá trị của $m.$

Khi đó tọa độ điểm $I$ thỏa mãn hàm số $y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4$ với mọi giá trị của $m.$

Tức là, ${y_0} = \left( {3--2m} \right){x_0} + m + 4$ đúng với mọi $m$

${y_0} = 3{x_0}--2m{x_0} + m + 4$ đúng với mọi $m$

$\left( {2{x_0} - 1} \right)m = 3{x_0} - {y_0} + 4$ đúng với mọi $m$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $2{x_0} - 1 = 0$ và $3{x_0} - {y_0} + 4 = 0$

Tức là ${x_0} = \frac{1}{2}$ và ${y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.$

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của $m$ là $I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).$

c) Để hai đường thẳng $y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4$ và $y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4$ cắt nhau thì $3 - 2m \ne 2,$ do đó $m \ne \frac{1}{2}.$

Hoành độ giao điểm $M$ của hai đường thẳng $y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4$ và $y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4$ là nghiệm của phương trình:

$$\left( {3--2m} \right){x_M} + m + 4 = 2{x_M} - 2{m^2} + 2m + 4$$

$$\left( {3--2m - 2} \right){x_M} + m + 4 + 2{m^2} - 2m - 4 = 0$$

$\left( {1--2m} \right){x_M} + 2{m^2} - m = 0$ $\left( * \right)$

Vì $m \ne \frac{1}{2}$ nên ta có $1 - 2m \ne 0,$ khi đó từ $\left( * \right)$ ta có:

$${x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.$$

Thay ${x_M} = m$ vào hàm số $y = 2x + 1--m,$ ta được: ${y_M} = 2 \cdot m + 1--m = m + 1.$

Do đó ${y_M} = {x_M} + 1.$

Vậy giao điểm $M$ của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đường thẳng $y = x + 1.$

a) $50x - 60 = 0$

$50x = 60$

$x = \frac{6}{5}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{6}{5}.$

b) $4 - 3x = 5$

$$3x = - 1$$

$x = - \frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{1}{3}.$

c) $\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0$

$\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{5}{3}.$

d) $15 - 4x = x - 5$

$x - 4x = - 5 - 15$

$- 5x = - 20$

$x = 4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4.$

e) $3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1$

$$3x - 6 - 2x + 4 = x + 1$$

$$3x - 2x - x = 1 + 6 - 4$$

$0x = 3$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

f) $x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4$

$$x - 6 + 3x = 2x - 4$$

$$x + 3x - 2x = - 4 + 6$$

$$2x = 2$$

$$x = 1.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

g) $\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x$

$\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}$

$35x - 5 = 96 - 6x - 60x$

$35x + 6x + 60x = 96 + 5$

$101x = 101$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

h) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}$

$\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}$

$8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x$

$8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21$

$23x = 55$

$x = \frac{{55}}{{23}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{55}}{{23}}.$

i) ${\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)$

$${x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x$$

$${x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9$$

$$2x = 4$$

$x = 2.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$

j) $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

${x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4$

${x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4$

$4x = 33$

$x = \frac{{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{33}}{4}.$

k) $\frac{{x - 4}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 3}}{{2\,\,022}} = \frac{{x - 2}}{{2\,\,023}} + \frac{{x - 1}}{{2\,\,024}}$

$$\left( {\frac{{x - 4}}{{2\,\,021}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2\,\,022}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 2}}{{2\,\,023}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 1}}{{2\,\,024}} - 1} \right)$$

$$\frac{{x - 4 - 2\,\,021}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 3 - 2\,\,022}}{{2\,\,022}} = \frac{{x - 2 - 2\,\,023}}{{2\,\,023}} + \frac{{x - 1 - 2\,\,024}}{{2\,\,024}}$$

$$\frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,022}} - \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,023}} - \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,024}} = 0$$

$$\left( {x - 2\,\,025} \right)\left( {\frac{1}{{2\,\,021}} + \frac{1}{{2\,\,022}} - \frac{1}{{2\,\,023}} - \frac{1}{{2\,\,024}}} \right) = 0$$

Suy ra $x - 2\,\,025 = 0$ (vì $\frac{1}{{2\,\,021}} + \frac{1}{{2\,\,022}} - \frac{1}{{2\,\,023}} - \frac{1}{{2\,\,024}} \ne 0)$

$x = 2\,\,025.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 2\,\,025.$

l) $x - \frac{{x + \frac{{x + 1}}{5}}}{3} = 1 - \frac{{\frac{{1 - 2x}}{3}}}{5}$

$x - \frac{{5x + x + 1}}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x - \frac{{6x + 1}}{{15}} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{{15}}$

$$\frac{{15x - \left( {6x + 1} \right)}}{{15}} = \frac{{15 - \left( {1 - 2x} \right)}}{{15}}$$

$$15x - 6x - 1 = 15 - 1 + 2x$$

$$15x - 6x - 2x = 15 - 1 + 1$$

$$7x = 15$$

$x = \frac{{15}}{7}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{15}}{7}.$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $2\left( {x - 1} \right) - mx = 3$

$2x - 2 - mx = 3$

$\left( {2 - m} \right)x = 5$

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô nghiệm, hay nó có dạng $0x = b$ với $b \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m = 0,$ hay $m = 2.$

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô số nghiệm, hay nó có dạng $0x = 0,$ điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng $ax = b$ với $a \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m \ne 0,$ hay $m \ne 2.$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)$

Trường hợp 1. ${m^2} - 4 = 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,$ nên $m = 2$ hoặc $m = - 2.$

⦁ Nếu $m = 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 0.$ Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu $m = - 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 4.$ Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. ${m^2} - 4 \ne 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,$ nên $m \ne 2$ và $m \ne - 2.$

Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất là:

$$x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$$

Vậy với $m = 2,$ phương trình đã cho có vô số nghiệm;

$m = - 2,$ phương trình đã cho vô nghiệm;

$m \ne 2$ và $m \ne - 2,$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$

Hướng dẫn giải

Đổi $20$phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là $x$ (km) $\left( {x > 0} \right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm $5$ km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $40 + 5 = 45$ (km/h).

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là $20$ phút $( = \frac{1}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}$

$9x - 8x = 120$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là $120$ km.