Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải:

Số lít dầu lấy ra lần thứ nhất là:

$120 \cdot \frac{3}{{10}} = 36$ (lít).

Số lít dầu lấy ra lần thứ hai là:

$\frac{1}{4} \cdot \left( {120 - 36} \right) = 21$ (lít).

Số lít dầu còn lại cuối cùng là:

$120 - 36 - 21 = 63$ (lít).

Hướng dẫn giải:

Số học sinh có kết quả học tập Tốt là:

$40 \cdot \frac{1}{5} = 8$ (học sinh).

Số học sinh còn lại là:

$40 - 8 = 32$ (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập ở mức Đạt là:

$32 \cdot \frac{3}{8} = 12$ (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập Khá là:

$32 - 12 = 20$ (học sinh).

Hướng dẫn giải:

a) Doanh thu của nhóm I là:

$\frac{2}{5} \cdot 120 = 48$ (triệu đồng).

Doanh thu của nhóm II là:

$\frac{2}{3} \cdot 48 = 32$ (triệu đồng).

Doanh thu của nhóm III là:

$120 - 48 - 32 = 40$ (triệu đồng).

b) Xếp hạng thứ tự doanh thu từ cao đến thấp: Nhóm I > nhóm III > nhóm II.

Nhóm có doanh thu cao nhất phòng Kinh doanh là nhóm I.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích bể bơi chiếm số phần diện tích khu đất là:

$1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{7} = \frac{{21}}{{21}} - \frac{7}{{21}} - \frac{9}{{21}} = \frac{5}{{21}}$ (diện tích khu đất).

b) Diện tích khu đất là:

$60:\frac{5}{{21}} = 252{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích xây nhà là:

$252 \cdot \frac{1}{3} = 84{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Hướng dẫn giải:

Tổ 3 trồng được chiếm số phần tổng số cây cả lớp trồng được là:

$1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}$ (số cây cả lớp trồng được).

Số cây cả lớp trồng được là:

$30:\frac{1}{4} = 120$ (cây).

Số cây tổ 1 trồng được là:

$120 \cdot \frac{1}{3} = 40$ (cây).

Số cây tổ 2 trồng được là:

$120 - 40 - 30 = 50$ (cây).

Hướng dẫn giải:

Số quýt chiếm số phần tổng số quả là:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ (tổng số quả).

Số táo chiếm số phần tổng số quả là:

$1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ (tổng số quả).

Tổng số quả có trong giỏ là:

$20:\frac{2}{5} = 20 \cdot \frac{5}{2} = 50$ (quả).

Số quả cam có trong giỏ là:

$50 \cdot \frac{2}{5} = 20$ (quả).

Số quả quýt có trong giỏ là:

$50 - 20 - 20 = 10$ (quả).

Hướng dẫn giải:

a) Số gạo ngày thứ ba bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{{28}}$ (tổng số gạo).

Số gạo ngày thứ hai bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

$1 - \frac{3}{7} - \frac{3}{{28}} = \frac{{28}}{{28}} - \frac{{12}}{{28}} - \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}$ (tổng số gạo).

Số gạo ban đan đầu cửa hàng có là:

$26:\frac{{13}}{{28}} = 26 \cdot \frac{{28}}{{13}} = 56$ (tấn).

b) Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

$56 \cdot \frac{3}{7} = 24$ (tấn).

Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

$24 \cdot \frac{1}{4} = 6$ (tấn).

Hướng dẫn giải:

Số học sinh khối 11 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{{15}} = \frac{1}{3}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

$1 - \frac{4}{{15}} - \frac{1}{3} = \frac{{15}}{{15}} - \frac{4}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 nhiều hơn số học sinh khối 11 số phần so với số học sinh toàn trường là:

$\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{15}}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh toàn trường là:

$80:\frac{1}{{15}} = 80 \cdot 15 = 1\,\,200$ (học sinh).

Số học sinh khối 12 là:

$1\,\,200 \cdot \frac{4}{{15}} = 320$ (học sinh).

Số học sinh khối 11 là:

$320 \cdot \frac{5}{4} = 400$ (học sinh).

Số học sinh khối 10 là:

$400 + 80 = 480$ (học sinh).

a) $A \notin p.$

b) $D \notin m;$ $D \notin n;$ $D \notin p.$

c) Đường thẳng $n$ không chứa điểm $C.$

d) $B \in n;$ $B \in p.$

Hướng dẫn giải:

a) Các cặp đường thẳng song song: $AB$ và $DE.$

b) Các cặp đường thẳng cắt nhau là

⦁ $AE$ và $BD.$ Giao điểm là điểm $C.$

⦁ $AC$ và $AB.$ Giao điểm là điểm $A.$

⦁ $AB$ và $BC.$ Giao điểm là điểm $B.$

⦁ $CD$ và $DE.$ Giao điểm là điểm $D.$

⦁ $CE$ và $DE.$ Giao điểm là điểm $E.$

c) Có 8 đoạn thẳng ở hình vẽ, đó là: $AB;\,\,DE;\,\,AC;\,\,CE;\,\,AE;\,\,BC;\,\,CD;\,\,BD.$

a) Bộ 4 điểm thẳng hàng có trong hình: $A;\,\,B;\,\,C;\,\,D$ và $A;\,\,E;\,\,F;\,\,M.$

b) Ba điểm $B,\,\,C,\,\,D$ có thẳng hàng.

c) Các điểm cùng phía đối với điểm $M$ là $A;\,\,E;\,\,F.$

d) Các điểm khác phía đối với điểm $E$ là $A$ và $F;$ $A$ và $M.$

Hướng dẫn giải:

Có tất cả 3 đoạn thẳng, đó là: $AB,\,\,AC,\,\,BC.$

a) Hình vẽ:

b) Hình vẽ:

c) Hình vẽ:

d) Hình vẽ:

Vì $M$ là một điểm thuộc đoạn $EF,$ nên ba điểm $E,\,\,M,\,\,F$ thẳng hàng và điểm $M$nằm giữa hai điểm $E,\,\,F.$

Do đó $FE = FM + ME$

Suy ra $ME = FE - FM = 10 - 5 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Vậy $ME = MF = 5{\rm{\;cm}}.$

a) Vì $I$ là trung điểm của $AB,$ nên $AI = BI = \frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $AI = 5{\rm{\;cm}}.$

b) Vì $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nên $AB = BE = \frac{{AE}}{2}.$

Do đó $AE = 2AB = 2 \cdot 10 = 20{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Do $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ nên $BC = 2CI = 2 \cdot 7 = 14$ cm.

Do $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên $AB = AC + CB = 5 + 14 = 19$ cm.

a) Vì điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ nên ta có:

$MA + AN = MN$

Suy ra $AN = MN - MA = 6 - 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

b) Vì điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MA$ nên điểm $I$ nằm giũa hai điểm $M$ và $A$ và $IA = \frac{1}{2}MA = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ nên $M,\,\,N$ nằm khác phía đối với điểm $A.$

Vì điểm $I$ nằm giũa hai điểm $M$ và $A$ nên $M,\,\,I$ nằm cùng phía đối với điểm $A.$

Từ đó ta có điểm $I$ và $N$ nằm khác phía đối với điểm $A.$

Do đó điểm $A$ nằm giữa hai điểm $I,\,\,N.$

Lại có $IA = AN = 2{\rm{\;cm}}.$

Suy ra điểm $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $IN.$

a) Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ nên ta có:

$MI = IN = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

b) Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ nên điểm $I$ nằm giữa hai điểm $M,\,\,N$ hay hai điểm $M,\,\,N$ nằm khác phía đối với điểm $I.$

Lại có hai điểm $A$ và $N$ nằm cùng phía đối với điểm $I$ nên $M,\,\,A$ nằm khác phía đối với điểm $I$ hay điểm $I$ nằm giữa hai điểm $M,\,\,A.$

Do đó $MI + IA = MA$

Suy ra $MA = 2 + 3 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Hướng dẫn giải:

Từ $50$ đến $99$ có $\frac{{99 - 50}}{1} + 1 = 50$ số.

Mà $\frac{1}{{50}} > \frac{1}{{100}};$

$\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};$

$\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};$

….

$\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.$

Cộng vế theo vế ta được:

$\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}} > 50 \cdot \frac{1}{{100}} = \frac{1}{2}.$

Vậy $S > \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{1}{{10}} > \frac{1}{{20}};$

$\frac{1}{{11}} > \frac{1}{{20}};$

$\frac{1}{{12}} > \frac{1}{{20}};$

….

$\frac{1}{{20}} = \frac{1}{{20}}.$

Cộng vế theo vế ta được:

$\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} > \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} + ... + \frac{1}{{20}} = 10 \cdot \frac{1}{{20}} = \frac{1}{2};$

Tương tự ta có:

$\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{22}} + \frac{1}{{23}} + ... + \frac{1}{{30}} > \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}} + ... + \frac{1}{{30}} = 10 \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{1}{3};$

$\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ... + \frac{1}{{40}} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.$

Suy ra $\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{39}} + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{6 + 4 + 3}}{{12}} = \frac{{13}}{{12}} > 1.$

Do đó $A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.$

Vậy $A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};$

$\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};$

$\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};$

…..

$\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.$

Cộng vế theo vế ta được:

$$\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.$$

Tương tự ta được:

$$\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};$$

$$\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.$$

Suy ra $\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.$

Mà $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}$ nên $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.$

Do đó $\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.$

Vậy $A > \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải:

$B = \frac{4}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{4}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{4}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{4}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}$

$= \frac{{5 - 1}}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{{7 - 3}}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{{9 - 5}}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25 - 21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}$

$$= \frac{5}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} - \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{7}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} - \frac{3}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{9}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} - \frac{5}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}} - \frac{{21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}$$

$= \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} - \frac{1}{{5 \cdot 7}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} - \frac{1}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{1}{{21 \cdot 22}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}}$

$$= \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{506}} = \frac{{506}}{{1\,\,518}} - \frac{3}{{1\,\,518}} = \frac{{503}}{{1\,\,518}}.$$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $A = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}$

Suy ra $2A = 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}.$

Do đó $2A + A = \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)$

Suy ra $3A = 1 - \frac{1}{{{2^{100}}}}$

Nên $A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}}$

Vì $\frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} > 0$ nên $\frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} < \frac{1}{3}.$

Vậy $A < \frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\frac{{2025}}{1} = 2025 = \underbrace {1 + 1 + 1... + 1}_{2025\,\,so\,\,hang}$

Khi đó:

$B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}$

$= 1 + \left( {\frac{{2024}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2013}}{3} + 1} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{2025}} + 1} \right)$

$= 1 + \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}}$

$= \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}} + \frac{{2026}}{{2026}}$

$B = 2026 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) = 2026A$

Ta có $\frac{B}{A} = \frac{{2026A}}{A} = 2026.$

Vậy $\frac{B}{A} = 2026.$

Hướng dẫn giải:

a) Với $n \ne - 1$ ta có: $\frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để biểu thức $\frac{{n - 1}}{{n + 1}}$ có giá trị nguyên thì $2 \vdots \left( {n + 1} \right)$

Hay $n + 1 \in$Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $n \in \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1} \right\}.$

b) $\frac{2n-1}{3-n}.$

b) Với $n \ne 3,$ ta có: $\frac{{2n - 1}}{{3 - n}} = \frac{{2n - 6 + 5}}{{3 - n}} = \frac{{ - 2\left( {3 - n} \right) + 5}}{{3 - n}} = - 2 + \frac{5}{{3 - n}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để biểu thức $\frac{{2n - 1}}{{3 - n}}$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots 3 - n$

Hay $3 - n \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy $n \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.$

c) Với $n \ne \frac{4}{3},$ đặt $A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.$

Khi đó $3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $3A$ có giá trị nguyên thì $1 \vdots \left( {3n - 4} \right)$

Hay $3n - 4 \in$Ư$\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Thử lại, với $n = 1$ ta có $A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.$

Vậy $n = 1.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $A$ là phân số thì $n + 1 \ne 0,$ hay $n \ne - 1.$

Vậy với $n \in \mathbb{Z}$ và $n \ne - 1$ thì $A$ là phân số.

b) Ta có: $A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $A$ là số nguyên thì $n + 1 \in$Ư$\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy $n \in \left\{ {0;\,\,\, - 2;\,\,\,1;\,\,\, - 3;\,\,\,3;\,\,\, - 5} \right\}.$

c) Ta có: $A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}$

Với mọi số tự nhiên $n$ ta có $4n \ge 0;$ $n + 1 > 0$ nên $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $n = 0$ (thỏa mãn).

Vậy với $n = 0$ thì $A$ đạt giá trị nhỏ nhất là $0$.

Hướng dẫn giải:

a) Với $n \in \mathbb{N},$ gọi $d =$ƯCLN$\left( {n + 1,\,2n + 3} \right)$

Suy ra $n + 1 \vdots d$ nên $2\left( {n + 1} \right) \vdots d$ hay $2n + 2 \vdots d$

$$2n + 3 \vdots d$$

Do đó $\left[ {\left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 2} \right)} \right] \vdots d$ hay $1 \vdots d$

Suy ra $d = 1$

Khi đó ƯCLN$\left( {n + 1,\,2n + 3} \right) = 1$.

Vậy $\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}$ là phân số sau tối giản với $n \in \mathbb{N}.$

b) Với $n \in \mathbb{N},$ gọi $d =$ƯCLN$\left( {3n - 2{,}4n - 3} \right)$

Suy ra $3n - 2 \vdots d$ nên $4 \cdot \left( {3n - 2} \right) \vdots d$ hay $12n - 8 \vdots d$

$4n - 3 \vdots d$ nên $3 \cdot \left( {4n - 3} \right) \vdots d$ hay $12n - 9 \vdots d$

Do đó: $\left[ {\left( {12n - 8} \right) - \left( {12n - 9} \right)} \right] \vdots d$

$12n - 8 - 12n + 9 \vdots d$

$1 \vdots d$

Suy ra $d = 1$

Khi đó ƯCLN$\left( {3n - 2{,}4n - 3} \right) = 1.$

Vậy phân số $\frac{{3n - 2}}{{4n - 3}}$ là phân số tối giản với $n \in \mathbb{N}.$

Hướng dẫn giải:

a) Với $n \ne 1,$ ta có $\frac{{n + 13}}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 14}}{{n - 1}} = 1 + \frac{{14}}{{n - 1}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $\frac{{n + 13}}{{n - 1}}$ tối giản thì $\frac{{14}}{{n - 1}}$ phải là tối giản, tức là $14$ và $n - 1$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài các ước là $1$ và $14,$ thì $14$ còn có các ước $2;\,\,7.$

Do đó để $\left( {14,n - 1} \right) = 1$ thì $n - 1$ không chia hết cho $2$ và $n - 1$ không chia hết cho $7.$

Tức là $n - 1 \ne 2k$ (với $k \in \mathbb{Z})$ và $n - 1 \ne 7q$ (với $q \in \mathbb{Z})$

Vậy với $n \ne 2k + 1$ và $n \ne 7q + 1$ $\left( {k,\,q \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $\frac{{n + 13}}{{n - 1}}$ là phân số tối giản.

b) Giả sử $d$ là ước chung nguyên tố của $\left( {18n + 3} \right)$ và $\left( {21n + 7} \right).$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\left( {18n + 3} \right) \vdots d\\\left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}7 \cdot \left( {18n + 3} \right) \vdots d\\6 \cdot \left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\left( {126n + 21} \right) \vdots d\\\left( {126n + 42} \right) \vdots d\end{array} \right.$

Do đó $\left( {126n + 42 - 126n - 21} \right) \vdots d$ hay $21 \vdots d$ nên $d \in \left\{ {3;7} \right\}.$

⦁ Với $d = 3$ ta có $\left( {21n + 7} \right) \vdots 3$ nên $7 \vdots 3$ (điều này là vô lí).

⦁ Với $d = 7$ ta có $\left( {18n + 3} \right) \vdots 7$ nên $\left( {18n + 3n - 3n + 3} \right) \vdots 7$ hay $\left( {21n - 3n + 3} \right) \vdots 7$

Tức là $\left( {3 - 3n} \right) \vdots 7$ hay $3\left( {n - 1} \right) \vdots 7$ nên $\left( {n - 1} \right) \vdots 7$

Khi đó $n - 1 = 7k$ $\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)$ hay $n = 7k + 1$ $\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)$

Vậy phân số $\frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}$ là tối giản khi $d \ne 7$ hay $n \ne 7k + 1$ $\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right).$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{y}{3}$

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{{2y}}{6}$

$\frac{1}{x} = \frac{{5 - 2y}}{6}$

Suy ra $x \cdot \left( {5 - 2y} \right) = 6 \cdot 1 = 6$

Vì $x,y$ là số tự nhiên nên $x \in$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Từ bảng trên ta tìm được cặp $\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2;1} \right),\left( {6;2} \right)} \right\}.$

b) Ta có: $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}$

$$\frac{{20x}}{{60}} - \frac{{15y}}{{60}} = \frac{{12}}{{60}}$$

Suy ra $20x - 15y = 12$

$$20x - 12 = 15y$$

$$4\left( {5x - 3} \right) = 15y\,\,\,\,\left( 1 \right)$$

Với $x,\,\,y \in \mathbb{N}$ ta suy ra $15y\, \vdots \,4$

Mà ƯCLN$\left( {15{,}4} \right) = 1$ nên $y\,\, \vdots \,\,4$

Do đó $y = 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{N},\,\,k \ne 0} \right)$

Thay $y = 4k$ vào (1) ta được: $4\left( {5x - 3} \right) = 60k$

Suy ra $5x - 3 = 15k$ nên $5x = 15k + 3$

Mà $5x\, \vdots \,5$ nên $\left( {15k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,5$ (điều này là vô lí)

Vậy không tồn tại các số tự nhiên $x,\,y$ thỏa mãn $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

Chỉ với hai lần cưa, người nông dân cần cưa thanh vàng thành ba phần: $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ và $\frac{4}{7}$.

Và khi đó, người nông dân sẽ trả lương mỗi ngày cho thợ như sau:

Thứ hai: Trả $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ ba: Trả $\frac{2}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ tư: Đưa lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng cho người thợ.

Thứ năm: Đưa lại $\frac{4}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ và $\frac{2}{7}$ thanh vàng.

Thứ sáu: Đưa $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ bảy: Đưa $\frac{2}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng từ thợ.

Chủ nhật: Trả nội $\frac{1}{7}$ thanh vàng còn lại.

Hướng dẫn giải

Độ dài tuyến đường 1 là: $DA + AB + BE + EG = 6 + 5 + 5 + 5 = 21\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Độ dài tuyến đường 2 là: $DA + AB + BC + CG = 6 + 5 + 6 + 2 = 19\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

Độ dài tuyến đường 3 là: $DC + CG = 10 + 2 = 12\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Do đó, tuyến đường 3 là tuyến đi tới kho báu nhanh nhất là tuyến đường 3 với độ dài 12 km.

Hướng dẫn giải

Lấy 6 cái bánh, mỗi cái chia làm đôi được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là $\frac{1}{2}$ cái bánh.

Lấy 3 cái bánh, mỗi cái chia đều làm 4 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là $\frac{1}{4}$ cái bánh.

Lấy 2 cái bánh cuối cùng, mỗi cái chia đều thành 6 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là $\frac{1}{6}$ cái bánh.

Như vậy, mỗi người được ba phần bánh, tổng cộng là: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{12}}$ (cái bánh).

Hướng dẫn giải

Người thứ nhất mua $\frac{1}{2}$ số trứng mà hai người kia mua.

Do đó, người thứ nhất mua $\frac{1}{3}$ số trứng của ba người.

Người thứ hai mua $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ (số trứng).

Người thứ ba mua ứng với $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{{15}}$ (số trứng).

Số quả trứng ban đầu trong rổ là: $14:\frac{7}{{15}} = 30$ (quả).

Hướng dẫn giải

Mỗi bán sẽ nhận được: $3:4 = \frac{3}{4}$ (cái bánh).

Ta có: $\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

Như vậy mỗi bạn sẽ nhận được $\frac{1}{2}$ cái bánh và $\frac{1}{4}$ cái bánh.

Ta có cách chia như sau:

- Lần 1 cắt cả 3 bánh, mỗi bánh chia thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được $\frac{1}{2}$ cái bánh.

(Người thứ nhất được $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ nhất, người thứ hai được $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ hai. Người thứ ba được $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ ba, người thứ tư được $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ nhất)

Còn $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ hai và $\frac{1}{2}$ cái bánh thứ ba.

- Lần 2 cắt số bánh còn lại, mỗi phần thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được $\frac{1}{4}$ cái bánh.

Theo cách chia trên thì bánh thứ nhất được chia làm 2 phần, bánh thứ hai và thứ ba được chia làm 3 phần thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hướng dẫn giải

Học sinh vẽ đúng sơ đồ mắc vòng như sau:

Hướng dẫn giải

a) Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt $n - 1$ đường thẳng còn lại, tạo ra $n - 1$ giao điểm.

Làm như vậy với $n$ đường thẳng ta được $n\left( {n - 1} \right)$ giao điểm.

Tuy nhiên mỗi giao điểm đã được tính hai lần, nên số giao điểm thực tế là $n\left( {n - 1} \right):2$ giao điểm.

Khi $n = 10$ ta có số giao điểm là $10\left( {10 - 1} \right) = 90$ (giao điểm).

b) Giả sử số giao điểm bằng 2024, áp dụng kết quả câu 1, ta có:

$n\left( {n - 1} \right):2 = 2024$ nên ${n^2} - n = 4048$.

Ta có $63 \cdot 64 = 4032 < 4048 = n\left( {n - 1} \right) < 4160 = 64 \cdot 65$ nên tìm được $n$ thỏa mãn đề bài.