Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Tự luận

a) Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx}$$= \frac{{{x^4}}}{{12}} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C$.

b) $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^3} + \frac{{11}}{2}{x^2} + 6x + C$.

c) Ta có $f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 1$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C$.

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 3xdx} = \frac{1}{3}\int {\sin 3xd\left( {3x} \right)} = - \frac{{\cos 3x}}{3} + C$.

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x}dx} = \int {\left( {x + 3 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + 2\ln \left| x \right| + C$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {x\sqrt x + 3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx}$

$= \int {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + 2\sqrt x + C$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}$$= 2\sqrt x + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$.

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Do $F\left( 0 \right) = 2$ suy ra $C = 2$ nên $F\left( e \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {2e + 1} \right) + 2 = \ln \sqrt {2e + 1} + 2$.

Hướng dẫn giải

a) $f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}} = {2^{3x}}{.2^{1 - 2x}} = {2^{1 + x}} = {2.2^x}$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)dx} = 2\int {{2^x}dx} = 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{\ln 2}} + C$.

b) $f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2} = {9^x} - 2 + {9^{ - x}}$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{9^x} - 2 + {9^{ - x}}} \right)dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2x - \frac{1}{{{9^x}\ln 9}} + C = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} - 2x - \frac{1}{{{{2.9}^x}\ln 3}} + C$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx} = {e^{x + 1}} + \frac{e}{x} + C$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln x + C$.

Vì $h\left( 1 \right) = 2$ nên $\ln 1 + C = 2 \Rightarrow C = 2$.

Do đó chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \le x \le 11} \right)$ là $h\left( x \right) = \ln x + 2$.

b) Ta có $h\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = e \approx 2{,}72$ năm.

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + \ln x} \right)} \right|} _1^2 = - \frac{1}{2} + \ln 2$.

b) $\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx}$$= \int\limits_1^4 {\left( {x - 4} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|} _1^4 = - \frac{9}{2}$.

c) $\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{2024} = \frac{{{3^{2024}}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{\ln 3}}$.

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} - 1$.

b)$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \sqrt 2 - 1$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x + 3} \right)dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx}$$= \left. {\left( {4x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi$.

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right)dt} = - \frac{4}{5}{t^2} + C$.

Ta có $72\;{\rm{km/h}} = 20\;{\rm{m/s}}$.

Vì $v\left( 0 \right) = 20$ nên $C = 20$$\Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20$.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên $- \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Quãng đường cần tìm là $s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{200}}{3}$ (m).

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ đến thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$ là

$s = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 - \sin t} \right)dt}$$= \left. {\left( {3t + \cos t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$= \frac{{3\pi }}{2} - 1$.

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$.

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm $A,B,I$ nên ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}\frac{9}{4}=c \\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0 \\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{9}{4}=c \\ a=-1 \\ b=0\end{matrix}$

Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Diện tích cửa parabol là $S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}$ m$^{2}$.

Vậy số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.

Ta có ${x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=\int _{1}^{4}|{x}^{3}-3{x}^{2}|dx$ $=\int _{1}^{3}|{x}^{3}-3{x}^{2}|dx+\int _{3}^{4}|{x}^{3}-3{x}^{2}|dx$ $=\int _{1}^{3}(3{x}^{2}-{x}^{3})dx+\int _{3}^{4}({x}^{3}-3{x}^{2})dx$

$= \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4$$= 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

$V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)dx}$$= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^3} + 9x} \right)} \right|_0^2$$= \frac{{202\pi }}{5}$.

Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = \pi {\left( {\sqrt {4 - x} } \right)^2}$(dm$^{2}$).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là

$V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt {4 - x} } \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4$$= 8\pi$(dm$^{3}$).

Ta có $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( { - 1;2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $- \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0$.

a) Vì $\left( P \right) \bot Ox$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $x - 3 = 0$.

b) Mặt phẳng $\left( {Ozx} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.

Do mặt phẳng $\left( P \right)//\left( {Ozx} \right)$ nên nhận $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $y - 4 = 0$.

c) Vì $\left( P \right)//\left( Q \right)$ nên $\left( P \right):3x + 7y + 10z + d = 0\left( {d \ne 1} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $K\left( { - 2;4; - 1} \right)$ nên $3.\left( { - 2} \right) + 7.4 + 10.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = - 12$ (thỏa mãn).

Do đó $\left( P \right):3x + 7y + 10z - 12 = 0$.

Giả sử $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ ($a,b,c > 0$).

Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Vì $M \in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{{ - 2}}{c} = 1$ (1).

Mà $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}$ nên $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 4a\end{array} \right.$ thay vào (1) ta được

$\frac{1}{a} + \frac{3}{{2a}} + \frac{{ - 2}}{{4a}} = 1$$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2$. Suy ra $b = 4;c = 8$.

Do đó $\left( P \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1$.

Vì $\left( P \right)//\left( Q \right)$ nên $\left( P \right):x + 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 0;d \ne - 3} \right)$.

Ta có $M\left( { - 1;1;1} \right) \in \left( Q \right)$.

Do đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1$ nên $\frac{{\left| {3 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 6\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta có $\left( P \right)$ có dạng $x + 2y + 2z - 6 = 0$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 10; - 4;2} \right) = - 2\left( {5;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {5;2; - 1} \right)$ có phương trình là

$5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 5x + 2y - z - 6 = 0$.

b) Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;1;2} \right)$.

Có $\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_P}} = 5.0 + 2.1 + \left( { - 1} \right).2 = 0$. Do đó $\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)$.