Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Nguyên hàm

Đáp án đúng là: B

$F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K$.

Đáp án đúng là: C

$\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C$.

Đáp án đúng là: D

$\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

$G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx}$$= F\left( x \right) - x + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C}$.

Đáp án đúng là: B

Vì $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow F'\left( {25} \right) = {25^2} = 625$.

Đáp án đúng là: A

$\int {{x^4}} dx = \frac{1}{5}{x^5} + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx = {x^3} + {x^2} + 5x + C}$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} dx = \int {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6$.

$\Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 4} \right)} dx = {x^3} + {x^2} + 4x + C$.

Theo giả thiết $F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 4x + 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( 2 \right) = 21\\F\left( 3 \right) = 49\end{array} \right.$.

Vậy $F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) = 70$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C$.

Vì vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s nên $v\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow C = 2$.

Suy ra $v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2$.

Vậy $v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 2 = 12\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $h\left( t \right)$ là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {25 - 9{,}8t} \right)dt} = 25t - 4{,}9{t^2} + C$ (m).

Do $h\left( 0 \right) = 0$ nên $C = 0$$\Rightarrow h\left( t \right) = - 4{,}9{t^2} + 25t$ (m).

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}$ (m) khi $t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}$ giây.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $v\left( t \right) = - 40t + 20$

$\Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0{,}5$.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: $s\left( {0{,}5} \right) = - 20.{\left( {0{,}5} \right)^2} + 20.\left( {0{,}5} \right) = 5{\rm{m}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $v\left( t \right) = 3{t^2} + 5$

$\Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $\Rightarrow C = 0$.

$\Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t$

Sau 4 giây, quãng đường máy bay bay được là: $s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84{\rm{m}}$.

Sau 10 giây, quãng đường máy bay bay được là: $s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050{\rm{m}}$.

Quãng đường máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: $s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966{\rm{m}}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) b) Ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

c) Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {4{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^4} - 3{x^2} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2$ nên $C = 2$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2$.

d) Có $F\left( 1 \right) = {1^4} - {3.1^2} + 2 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}$.

b) $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)} dx = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$.

c) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$.

Vì $F\left( 2 \right) = 1$ nên $F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1$$\Leftrightarrow C = - 3$.

Vậy $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3$.

d) Có $F\left( x \right) = 2x + 2$ nên $2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2$$\Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}$$\Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = {e^{\frac{5}{3}}}\\x - 1 = - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.$.

Tổng hai nghiệm của phương trình là 2.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì ${\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}$ nên hàm số $F\left( x \right) = - 2\sin x + C$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ đã cho.

b) Có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Suy ra $a = 2;b = 2$. Do đó $a + b = 4$.

c) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 1$ nên $C = 1$. Vậy ta có $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1$.

d) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Vì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ nên $2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2$.

Vậy $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C$.

Một nguyên hàm $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025$.

b) Có $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C$.

Ta có $F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1$.

Vậy $F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2$.

c) Theo định nghĩa nguyên hàm $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ khi và chỉ khi $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

d) Ta có $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C$.

Đồ thị của hàm số $F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)$ nên ta có phương trình $\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1$. Suy ra $F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}$.

Trả lời: 0,5

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {2\sin 2xdx} = - \cos 2x + C$.

Theo giả thiết $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = - \cos 2x + 1$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$.

Trả lời: 2

Ta có $F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}} = \left[ { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x + \left( {b - c} \right)} \right]{e^{ - x}}$.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $\{\begin{matrix}-a=1 \\ 2a-b=-3 \\ b-c=2\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-1 \\ b=1 \\ c=-1\end{matrix}$

Vậy $S = - 1 + 2.1 - \left( { - 1} \right) = 2$.

Trả lời: 7,27

Ta có $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 0{,}1{t^3} + {t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + C$.

Theo giả thiết, $h\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow C = 5$ $\Rightarrow h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + 5$ (cm).

Vậy $h\left( 2 \right) = - \frac{1}{{40}}{.2^4} + \frac{1}{3}{.2^3} + 5 = \frac{{109}}{{15}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 7{,}27$.