Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\vec a = 2\vec i - 3\vec j = \left( {2; - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec a = (2; - 3),\vec b = (1; - 1)$. Suy ra $\vec a + \vec b = (3; - 4)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành suy ra ${M_1}\left( {x; - y} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3 - 3 - \left( { - 1} \right) = 1\\{y_C} = - 3 - \left( { - 1} \right) - 2 = - 4\end{array} \right.$.

Vậy điểm $C\left( {1;\, - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử $D(a;b)$. Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( - 3;2)$ và $\overrightarrow {DC} = (5 - a;5 - b)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 3 = 5 - a}\\{2 = 5 - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 8}\\{b = 3{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $D(8;3)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$.

Suy ra : $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} = - 8\end{array} \right.$ $\Rightarrow D\left( {3;\, - 8} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ cũng là trọng tâm tam giác $MNP$.

Tọa độ điểm $G$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = - \frac{4}{3}\\{y_G} = - \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P$ thuộc trục $Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)$, $G$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$

$G$ là trọng tâm tam giác $MNP$nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.$.

Vậy $P\left( {0;4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2;3} \right)$ và $B\left( {4;1} \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1; - 2} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( {3;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow$ phương trình tham số $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 5t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right. \Rightarrow$VTCP $\vec u = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right)$ hay chọn $\vec u = \left( {0;1} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;3} \right) \in AB\\{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right) = - 2\left( { - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;3} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 1} \right) = - 1.\left( {5;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

M là trung điểm của AB nên ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right).$$

Do đó $\left. \begin{array}{l}C\left( {7;3} \right) \in CM\\\overrightarrow {{u_{CM}}} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với $m=4\overset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x+y=0 \\ {d}_{2}:7x+y+7=0\end{matrix}\overset{}{\rightarrow }{d}_{1}\cap {d}_{2}\cancel{=}\emptyset \overset{}{\rightarrow }$ loại $m = 4.$

Với $m\not = 4$ thì

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x+y+4-m=0 \\ {d}_{2}:(m+3)x+y+2m-1=0\end{matrix}\overset{{d}_{1}||{d}_{2}}{\rightarrow }\frac{m+3}{2}=\frac{1}{1}\cancel{=}\frac{2m-1}{4-m}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m=-1 \\ m\cancel{=}\frac{5}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow m=-1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - 3y - 10 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {2; - 3} \right)\\{d_2}:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array} \to {{\vec n}_2} = \left( {4m; - 3} \right)} \right.\end{array} \right.$$

$\overset{{d}_{1}\perp {d}_{2}}{\rightarrow }2.4m+(-3).(-3)=0\Leftrightarrow m=-\frac{9}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x+3y-19=0 \\ {d}_{2}:\{\begin{matrix}x=22+2t \\ y=55+5t\end{matrix}\end{matrix}\overset{{d}_{1}\cap {d}_{2}}{\rightarrow }2(22+2t)+3(55+5t)-19=0\Leftrightarrow t=-10\rightarrow \{\begin{matrix}x=2 \\ y=5\end{matrix}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + 3y - 1 = 0\\{d_2}:x - 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {3; - \frac{2}{3}} \right).$

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d \bot {d_3}:2x - y + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d:x + 2y + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 3 + 2.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{5}{3}.$

Vậy $d:x + 2y - \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow d:3x + 6y - 5 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:2x-y-10=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}=(2;-1) \\ {d}_{2}:x-3y+9=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2}=(1;-3)\end{matrix}\overset{φ=({d}_{1};{d}_{2})}{\rightarrow }\cos φ=\frac{|2.1+(-1).(-3)|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\to \varphi = 45^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\{\begin{matrix}{d}_{1}:3x+4y+12=0\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}=(3;4) \\ {d}_{2}:\{\begin{matrix}x=2+at \\ y=1-2t\end{matrix}\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2}=(2;a)\end{matrix}\overset{φ=({d}_{1};{d}_{2})={45}^{∘}}{\rightarrow }\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45^{\circ}=\cos φ=\frac{|6+4a|}{\sqrt{25}.\sqrt{{a}^{2}+4}}$

$\Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right..$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right) \to d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.

Vậy tâm đường tròn là: $I\left( { - 2; - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tâm $I\left( { - 1;2} \right),$ bán kính $R = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $I\left( {x;0} \right) \in Ox$;

Mà $I{A^2} = I{B^2}$ $\Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {3^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 = {x^2} - 10x + 25 + 9$ $\Leftrightarrow x = 4$.

Vậy tâm đường tròn là $I\left( {4;0} \right)$ và bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10}$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có dạng ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình đường tròn có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$.

Đường tròn này qua $A,B,C$ nên $\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\\c = - 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O$, bán kính $R$ tiếp xúc với $\Delta$ nên có:$R = d\left( {O\,,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${x^2} + {y^2} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm $I\left( {3\,;\,4} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0$ nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm $I\left( {3\,;\,4} \right)$ tới đường thẳng $\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0$.

Ta có: $R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$, khi đó $d$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow {IA}$ là một vectơ pháp tuyến.

Chọn một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d$là $y - 5 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4$ có tâm $I\left( {1;4} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

Vì $d//\Delta$ nên đường thẳng $d:4x - 3y + m = 0\left( {m \ne 2} \right)$.

$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.4 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = - 2\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : $4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 1} \right)$bán kính R=$\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} - ( - 3)} = \sqrt 5$

Vì $IA = 2 < R$nên A nằm bên trong $\left( C \right)$.Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn $\left( C \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dạng chính tắc của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.$

Vậy tâm sai của Elip $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Ta có $a = 6$, $b = 3$, vậy phương trình của Elip là: $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Từ đây, ta được $a = 5,{\rm{ }}b = 3$. Diện tích hình chữ nhật cơ sở là $S = 2a.2b = 60.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với ${c^2} = {a^2} + {b^2}$ $\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của hypebol là $e = \frac{c}{a}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\\{c^2} = {a^2} + {b^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = 5\end{array} \right..$ Các tiêu điểm là ${F_1}\left( { - {\rm{ }}5;0} \right)$, ${F_2}\left( {5;0} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\2c = 10\\{b^2} = {c^2} - {a^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\c = 5\\b = 3\end{array} \right..$

Phương trình chính tắc của Hyperbol là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khẳng định sai: Trục đối xứng của parabol là trục $Oy$. Cần sửa lại: trục đối xứng của parabol là trục $Ox$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

$\Rightarrow p = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow$ Phương trình đường chuẩn là $x + \frac{3}{8} = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

$A\left( {1;2} \right) \in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2p = 4$

Vậy phương trình $\left( P \right):{y^2} = 4x$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)$, $\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)$. Do đó $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow i = \left( { - 3;8} \right)$.

b) Có $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3{x_O} - {x_A} - {x_B}\\{y_D} = 3{y_O} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3.0 - 2 - 0 = - 2\\{y_D} = 3.0 + 1 - 3 = - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 2; - 2} \right)$.

c) Có $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AB$. Do đó $I\left( {1;1} \right)$.

d) Vì $K \in Ox \Rightarrow K\left( {a;0} \right)$.

Ta có $AK$ ngắn nhất khi và chỉ khi $K$ là hình chiếu của $A$ trên trục $Ox$. Suy ra $K\left( {2;0} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng $AB$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} (5;2)$.

b) Đường thẳng $AB$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} (5;2)$ nên nhận $\vec n(2; - 5)$ là một vectơ pháp tuyến.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua $A( - 2;2)$ và có vectơ pháp

tuyến $\vec n(2; - 5)$ là: $2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0$.

d) Đường thẳng này song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)$là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M( - 1;1)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {AB} (5;2)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận $\overrightarrow {EF}$là một vectơ pháp tuyến.

b) Đường cao kẻ từ $D$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận

$\overrightarrow {EF} (1;4)$ là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ $D$ có phương trình là: $(x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $DF$. Toạ độ của điểm $I$ là $(2;2)$.

d) Đường trung tuyến kẻ từ $E$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {EI} (0;1)$ nên nhận $n(1;0)$ là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ $E$ có phương trình là: $x - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Vì $AH \bot BC$ nên $\overrightarrow {BC}$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao $AH$.

b) Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)$.

Đường cao $AH$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0$.

c) Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {0; - 2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BC}$ nên sẽ nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $- x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2 = 0$.

d) $H$ là giao điểm của $AH$ và $BC$ nên tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$. Vậy tọa độ điểm $H\left( {2;0} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}$.

b) Ta có $d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0$$\Leftrightarrow 3x + y + 4 = 0$.

Do đó đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $d$ trùng nhau.

c) Đường thẳng song song với đường thẳng $\Delta$ có dạng $3x + y + d = 0\left( {d \ne 4} \right)$.

Vì đường thẳng $3x + y + d = 0$ đi qua $M\left( {1; - 1} \right)$ nên ta có $3.1 - 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2\left( {{\rm{tm}}} \right)$.

Do đó $3x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow - 3x - y + 2 = 0$.

d) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)$.

Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương của $\Delta$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: $- x + 3y + d = 0$.

Vì đường thẳng $- x + 3y + d = 0$ đi qua $M\left( {1; - 1} \right)$ nên $- 1 + 3.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = 4$.

Do đó $- x + 3y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4 = 0$ là đường thẳng cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì $MN//AB$ nên $AB$ nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

b) Đường trung trực của $AB$ đi qua điểm $P$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)$ có phương trình là $4\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y - 6} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4x + 3y - 38 = 0$$y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{38}}{3} = 0$.

Suy ra đường trung trực đoạn thẳng $AB$ có hệ số góc là $k = - \frac{4}{3}$.

c) Giả sử đường thẳng $\Delta$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $E\left( {a;0} \right),F\left( {0;b} \right)$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ nên $\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1$.

Ta có $\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}b = - a\\\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right.$.

Vậy đường thẳng cần lập có dạng $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1$.

d) Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $P\left( {5;6} \right)$nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;4} \right)$ có phương trình là: $- 3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 6} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 3x + 4y - 9 = 0$.

Đường thẳng $AC$ đi qua $N\left( {3;4} \right)$ nhận $\overrightarrow {MP} = \left( {6;5} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5;6} \right)$ có phương trình là $- 5\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 5x + 6y - 9 = 0$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y - 9 = 0\\ - 5x + 6y - 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 9\end{array} \right.$. Suy ra $A\left( {9;9} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( { - 10; - 8} \right)$. Suy ra đường trung tuyến $AM$ có một vectơ chỉ phương $\left( {5;4} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}5x - 12y + 11 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{{11}}\\y = \frac{{13}}{{11}}\end{array} \right.$.

Do đó ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm.

b) Ta có $R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{13}}$.

Do đó ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}$.

c) Đường thẳng song song với ${d_2}$ có dạng $x + 2y + d = 0\left( {d \ne - 3} \right)$.

Vì đường thẳng $x + 2y + d = 0$ đi qua $I\left( {2;1} \right)$ nên $2 + 2.1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 4$ (thỏa mãn).

Vậy đường thẳng cần tìm là $x + 2y - 4 = 0$.

d) Vì $M \in {d_2}$ nên $M\left( {3 - 2b;b} \right)$. Ta có $IM = 1$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 1$

$\Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 2 = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vì $b \ge 1$ nên $M\left( {1;1} \right)$. Suy ra $a + b = 2$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)$.

b) Ta có $AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

c) Đường cao kẻ từ $A\left( {1;2} \right)$ nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0$.

d) Trung điểm $M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)$ là trung điểm của $BC$.

Đường trung trực của $BC$ đi qua $M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)$ và có $\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình là $2\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - \frac{{31}}{2} = 0$.